\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[scaled=0.9]{helvet}
\setlength{\parindent}{0cm} % Pour eviter l indentation
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx} %pour lkes tableaux
\usepackage{multirow,makecell} %pour personnaliser les  tableaux cf http://www.xm1math.net/doculatex/tableaux.html
\newcolumntype{M}[1]{>{\centering}m{#1}}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{array,makecell}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
%\usepackage{lscape}
\usepackage{pdflscape}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{multicol}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathrsfs} %pour lettre en écriture cursive comme pour le C du cercle
%_______________________________________________
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amscd}
% Figure geogebra
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\usepackage{pstricks,pst-plot,graphicx,pstricks-add}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
% Compteur pour les exercices
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[1]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{\large \textbf{\textcolor{black}{Exercice\, \thenumexos.}\,\hfill #1}}\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt} %Met en bleu Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}

%
% Marges, Haut et Pied de page
% %~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2.5cm}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=black,urlcolor=black,breaklinks=true]{hyperref}
\usepackage[left=2.5cm,right=2cm,top=3cm,bottom=0cm]{geometry}
\usepackage{lastpage} % 2 compilations necessaires
\usepackage{fancyhdr} % gestion de lâen-t\^ete et pied de page
\pagestyle{fancy}
%\rhead{\textbf{Troisième}} % en haut \âa droite 
%\lhead{\small DS Bilan}  % en haut \âa gauche 
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} % en bas \âa droite : numero-page/nb-pages
\cfoot{} %rien en bas au centre, num\âero de page par defaut
\lfoot{{\footnotesize Brevet Blanc - Collège Victor Duruy, 75007 Paris}} %en bas \âa gauche, num\âero de page par defaut
\renewcommand \headrulewidth{0mm} % largeur du filet marquant lâen-tete
\renewcommand \footrulewidth{0.1mm} % largeur du filet marquant le pied de page
%
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%
\begin{document}

\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
%\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{plain} 
% -------------------------------------------------------
\vspace{2cm}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}


 {\huge \textbf{Brevet Blanc de Mathématiques}}\\
 {\LARGE  Collège Victor Duruy\\ 
   75007 Paris \\
  \medskip
   Mars 2015}
 
\vspace{1cm}
\begin{large}

\rule{4cm}{0.1pt} \\
\vspace{0,3cm}
Durée de l'épreuve : 2 h 00\\
%Coefficient : 2 fois celui d'un DS de 1 heure\\
\vspace{0,3cm}
\rule{4cm}{0.1pt} \\
\vspace{0,3cm}


Le sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage} \\ 
Dès qu'il vous est remis, assurez-vous qu'il soit complet\\
%Inscrivez votre numéro de candidat sur l'annexe \\
%Cette annexe est à rendre à la fin de l'épreuve\\



\vspace{0,3cm}
\rule{4cm}{0.1pt} \\
\vspace{0,3cm}
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée\\
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)\\
\vspace{0,3cm}
L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé\\
\vspace{3cm}
%\textbf{
%BARÈME\\
%Exercice 1 : \dots points\\
%Exercice 2 : \dots points\\
%Exercice 3 : \dots points\\
%Exercice 4 : \dots points\\
%Exercice 5 : \dots points\\
%Exercice 6 : \dots points\\
%Exercice 7 : \dots points\\
%Exercice 8 : \dots points\\
%Exercice 9 : \dots points\\
%}
\rule{4cm}{0.1pt} \\
\vspace{0,3cm}
Prenez soin de justifier et de rédiger vos réponses

\end{large}
\end{center}
\pagebreak


%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
\exercice{}
%\exercice{5 points}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PGCD (78; 130), en précisant la méthode employée et
vos calculs.
\item Victor est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques.
Chaque jour il peut fabriquer 78 chocolats et 130 biscuits.
Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d'une part le même nombre de chocolats et d'autre part le même
nombre de
biscuits.
\begin{enumerate}
\item Justifier que 26 est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir.

\item Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits
dans chaque boîte?
\end{enumerate}
\end{enumerate}




%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{7 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
On considère les deux programmes de calcul suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{9cm}|X|}\hline
\textbf{Programme A}&   \textbf{Programme B}\\   
$\bullet~~$ Choisir un nombre de départ &$\bullet~~$Choisir un nombre de départ \\  
$\bullet~~$  Soustraire 1 au nombre choisi&$\bullet~~$Calculer le carré du nombre choisi  \\ 
$\bullet~~$  Calculer le carré de la différence obtenue&$\bullet~~$Ajouter 1 au résultat   \\
$\bullet~~$  Ajouter le double du nombre de départ au résultat&$\bullet~~$Écrire le résultat obtenu\\   
$\bullet~~$  Écrire le résultat obtenu & \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, lorsque le nombre de départ est 3, le résultat obtenu avec le programme A est 10. 
\item Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on avec le programme B ? 
\item Lorsque le nombre de départ est $- 2$, quel résultat obtient-on avec le programme A ? 
\item Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu avec le programme B soit 5 ? 
\item Henri prétend que les deux programmes de calcul fournissent toujours des résultats identiques. 
A-t-il raison ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{8 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle $\mathscr{C}$ et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes :\\

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] [AB] est un diamètre du cercle $\mathscr{C}$ de centre O.
\item[$\bullet~~$]K et F sont deux points extérieurs au cercle $\mathscr{C}$. 
\item[$\bullet~~$]Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T situé sur le cercle $\mathscr{C}$. 
\item[$\bullet~~$]AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK = 3 cm.
\end{itemize} 
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ATB est rectangle. 
\item Calculer la mesure du rayon [OA] du cercle $\mathscr{C}$. 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAT}}$ arrondie au degré près. 
\item Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles ? 
\item Calculer l'aire du triangle TKF.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\pscircle(3.4,3){3}
\pspolygon(8.7,3.4)(1.6,5.4)(5.2,0.6)(6.7,6)%FABKF
\uput[dl](3.4,3){O} \uput[ul](1.6,5.4){A} \uput[dr](5.2,0.6){B} 
\uput[d](8.7,3.4){F} \uput[u](6.7,6){K} \uput[dr](6.2,4.6){T} 
\uput[l](0.6,4.3){\Large $\mathscr{C}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.4,3) 
\end{pspicture}}
\pagebreak
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{4 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
Voici trois calculs effectués à la calculatrice. Détailler ces calculs afin de comprendre les résultats donnés par la calculatrice : 
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\begin{multicols}{3}
\textbf{Calcul \no 1}: $$A=\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6}\div \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{18}$$ 

\columnbreak
\textbf{Calcul \no 2} : $$B=\sqrt{18} +\sqrt{2}= 4\sqrt{2}$$

\columnbreak 

\textbf{Calcul \no 3} : $$C=\dfrac{8\times 10^{15}+2\times 10^{15}}{8\times 10^7\times2\times 10^8}=\dfrac{5}{8}$$
\end{multicols}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{5 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,7)
%\psgrid
\psline(0,0.5)(12,0.5)
\psline(7.3,0.5)(7.3,7)\rput(9.5,4){Immeuble}
\psline(0.5,0.5)(3.1,3.85)(5.8,0.5)
\psline(4.5,0.5)(7.3,5.2)
\pspolygon*(2.8,3.5)(3.1,3.85)(3.4,3.5)
\psline(3.1,0.6)(3.1,0.4)\uput[d](3.1,0.4){P}
\psline(4.5,0.6)(4.5,0.4)\uput[d](4.5,0.4){M}
\psline(5.85,0.6)(5.85,0.4)\uput[d](5.85,0.4){L}
\psline(7.3,0.6)(7.3,0.4)\uput[d](7.3,0.4){C}
\uput[ul](7.3,5.2){F}
\pspolygon*(7.3,5.2)(7.3,4.8)(7.04,4.8)
\psarc[linewidth=1.5pt](2.95,3.8){0.175}{0}{180}
\psline[linewidth=1.5pt](2.77,3.8)(2.77,3.4)
\psline[linewidth=3pt](2.7,3.7)(2.7,0.5)
\pspolygon*(2.5,0.5)(2.7,1)(2.9,0.5)
\pspolygon[fillstyle=hlines](4.5,0.5)(5.04,1.42)(5.85,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

On s'intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière : le lampadaire de la rue et le spot fixé en F sur la façade de l'immeuble.

\parbox{0.45\linewidth}{On réalise le croquis ci-contre qui n'est pas à l'échelle, pour modéliser la situation: 

On dispose des données suivantes : 
 
PC = 5,5~m ; CF = 5~m ; HP = 4~m ;

$\widehat{\text{MFC}} = 33~\degres$ ; $\widehat{\text{PHL}} = 40~\degres$}
\hfill 
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.2,6.4)
\pspolygon(0.2,4.6)(0.2,0.4)(6.1,0.4)(6.1,5.9)(2.5,0.4)(3.8,0.4)%HPCFMLH
\uput[u](0.2,4.6){H} \uput[d](0.2,0.4){P} \uput[d](2.5,0.4){M} 
\uput[d](3.8,0.4){L} \uput[d](6.1,0.4){C} \uput[u](6.1,5.9){F}
\psframe(0.2,0.4)(0.5,0.7)\psframe(6.1,0.4)(5.8,0.7)
\psarc(0.2,4.6){0.7}{-90}{-50}
\psarc(6.1,5.9){0.7}{-123}{-90} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'arrondi au décimètre de la longueur PL est égal à 3,4~m. 
\item Calculer la longueur LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière. On arrondira la réponse au décimètre. 
\item On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus. \\
Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CFM}}$. On arrondira la réponse au degré. 
\end{enumerate} 
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{4 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

\parbox{0.45\linewidth}{
Pour construire un mur vertical, il faut parfois utiliser un
coffrage et un étayage qui
maintiendra la structure verticale le temps que le béton sèche. Cet étayage peut se
représenter par le schéma suivant qui n'est pas à l'échelle. Les poutres de fer sont coupées et fixées de façon
que :\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires ;
\item[$\bullet~~$] C est situé sur la barre [AB] ;
\item[$\bullet~~$] D est situé sur la barre [BE] ;
\item[$\bullet~~$] AB = 3,5 m ; AE = 2,625 m et CD = 1,5 m.
\end{itemize}}
\hfill 
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.5)(4.78,6.5)
\pspolygon[linecolor=darkgray,fillcolor=darkgray,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(4,0)(4,6)
\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](4,0.424)(3.576,0.424)(3.576,0)(4,0)
\psline[linecolor=darkgray](0,0)(4,0)
\psline[linecolor=darkgray](4,0)(4,6)
\psline[linecolor=darkgray](4,6)(0,0)
\psline(2,3)(4,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.4,0.06){\large E}
\psdots[dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.1,0.0){\large A}
\psdots[dotstyle=*](4,6)
\rput[bl](4.08,6.12){\large B}
\psdots[dotstyle=*](2,3)
\rput[bl](1.64,3.14){\large D}
\psdots[dotstyle=*](4,3)
\rput[bl](4.08,3.12){\large C}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
}
\begin{enumerate}
\item Calculer BE.
\item Les barres [CD] et [AE] sont parallèles.
À quelle distance de B faut-il placer le point C?
\end{enumerate}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{5 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
Tom doit calculer $3,5^2$.\\
\og Pas la peine de prendre la calculatrice \fg{}, lui dit Julie, \og  tu n'as qu'à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter $0,25$  \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de $3,5$.
\item Calculer de façon similaire le carré de $7,5$ et donner le résultat.
\item Julie propose la conjecture suivante, pour tout entier naturel $n$ : 
$$(n+0,5)^2=n(n+1)+0,25$$
\begin{enumerate}
\item Pour tester sa conjecture avec plusieurs valeurs, Julie se propose d'utiliser un tableur. Elle obtient les résultats suivants : 
\begin{center}

\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray!20!white}}c|c|c|c|}
\hline 
\rowcolor{gray!20!white} & A & B & C \\ 
\hline 
\rule[-1ex]{0pt}{4ex}
1 & $n$ & $n(n+1)+0,25$ & $(n+0,5)^2$ \\
\hline 
2 & $0$ & $0,25$ & $0,25$ \\ 
\hline 
3 & $1$ & $2,25$ & $2,25$ \\ 
\hline 
4 & $2$ & $6,25$ & $6,25$ \\  
\hline 
5 & $3$ & $12,25$ & $12,25$ \\ 
\hline 
6 & $4$ & $20,25$ & $20,25$ \\ 
\hline 
7 & $5$ & $30,25$ & $30,25$ \\ 
\hline
8 & $6$ & $42,25$ & $42,25$ \\ 
\hline  
\end{tabular} 
\end{center}
Quelle formule a-t-elle entrée dans la cellule $B2$ puis recopiée vers le bas pour obtenir les résultats de la colonne B ?
\item Prouver que la conjecture de Julie est vraie, quel que soit l'entier $n$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%\textbf{Exercice .\hfill 3 points}
\section*{}
%\exercice{2 points}
\exercice{}
%\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt}
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\medskip
\og Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J'ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j'enlève 21. J'obtiens toujours un multiple de 10.\fg

\medskip

Est-ce vrai ? Justifier.
\end{document}