\documentclass[12pt]{article}
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% Figure geogebra
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%----------------------------------------------------------------
% Compteur pour les exercices
%----------------------------------------------------------------
\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[1]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
\textbf{\textcolor{black}{Exercice\,\thenumexos.}\,#1}\noindent\par\nobreak\vspace{3pt}\hrule\vspace{6pt} %Met en bleu Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
}
%----------------------------------------------------------------
% Newcommand
%----------------------------------------------------------------
\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
%----------------------------------------------------------------
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
%----------------------------------------------------------------
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%----------------------------------------------------------------
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%
% Marges, Haut et Pied de page
% ----------------------------------------------------------------
%
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\usepackage{lastpage} % 2 compilations necessaires
\usepackage{fancyhdr} % gestion de lâen-t\^ete et pied de page
\pagestyle{fancy}
% ----------------------------------------------------------------
%   Nom du Devoir à changer
\rhead{\textbf{Sixième}} % en haut \âa droite 
\lhead{\small Correction}  % en haut \âa gauche 
% ----------------------------------------------------------------
%
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} % en bas \âa droite : numero-page/nb-pages
\cfoot{} %rien en bas au centre, num\âero de page par defaut
\lfoot{{\footnotesize M. Duffaud : \url{www.math93.com}}} %en bas \âa gauche, num\âero de page par defaut
\renewcommand \headrulewidth{0mm} % largeur du filet marquant lâen-tete
\renewcommand \footrulewidth{0.1mm} % largeur du filet marquant le pied de page
%
% ----------------------------------------------------------------
%
\begin{document}

\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty} % pas de haut et de bas de page pour cette page


\begin{center}

{\Large \textbf{\gray DS Bilan de Mathématiques - Correction\\}}
\vspace{0,5cm}
\end{center}

%---------------------------------------------------------------------
% exercice 1
% ----------------------------------------------------------------
\exercice{(4 points)}
Poser et effectuer les opérations suivantes, après avoir donné un ordre de grandeur du résultat :
\begin{enumerate}
\item L'ordre de grandeur de A est 10 + 490 = 500 et la valeur exacte de A est A = $ 12,5+486$ = $\textbf{498,5}$.
\item L'ordre de grandeur de B est 750 - 500 = 250 et la valeur exacte de B est B = 745 - 481,3 = \textbf{263,7}.
\item L'ordre de grandeur de C est 10 $\times$ 9 = 90 et la valeur exacte de C est C = 12,5 $\times$ 8,62 = \textbf{107,75}.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
% exercice 2
% ----------------------------------------------------------------
\exercice{(3 points)}
Effectuer les calculs suivants en respectant les priorités.
\begin{enumerate}
\item D = $(12,5+7,5)\times5=20\times5=\textbf{100}$.
\item E = $(2,5+7,5)\times(5+15)=10\times20=\textbf{200}$.
\item F = $(15+3,7)\times0,1=18,7\times0,1=\textbf{1,87}$.

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
% exercice 3
%----------------------------------------------------------------
\exercice{(4 points)}
\begin{enumerate}
\item Par division euclidienne de 137 par 7 on a : \textbf{$137=7\times19+4$}.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Effectuer la division décimale de 523 par 8 jusqu'à ce   que le reste soit nul. 
  \item On obtient : $\dfrac{523}{8} = \textbf{65,375}$
  
  \end{enumerate}
  
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Effectuer la division décimale de 20,5 par 1,7 jusqu'à deux chiffres après la virgule. 
  \item Alors : $\dfrac{20,5}{1,7}=\dfrac{205}{17}\approx\textbf{12,05}$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


% exercice 4
%----------------------------------------------------------------
\exercice{(5 points)}
\begin{enumerate}
\item On considère un triangle ABC, rectangle en A et tel quel AB = 5 cm et AC = 7 cm.\\
Construire ABC sur votre copie en n'oubliant pas de coder l'angle droit.
\item \textbf{Mesurer le segment [BC]. En déduire une valeur approchée du périmètre ${\cal P}$ du triangle ABC en cm puis en mm.}\\
BC $\approx$ 8,6cm donc le périmètre du triangle est : ${\cal P}$ = AB + BC + CA $\approx$ 5 cm + 7 cm + 8,6 cm.\\
\textbf{${\cal P}\approx$ 20,6 cm} = \textbf{206 mm}.
\item Soit M le milieu du segment [AC]. Placer M et coder la figure.
\item Tracer la droite $(d)$, perpendiculaire à la droite (AC) et passant par le point M.
\item \textbf{Démontrer que les droites $(d)$ et (AB) sont parallèles}.\\
\textbf{- Données} : Les droites $(d)$ et (AB) sont perpendiculaires à une même troisième droite (AC).
Or par théorème : \\
\textbf{- Théorème} : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors, elles sont parallèles entre elles.\\
\textbf{- Conclusion} : Les droites $(d)$ et (AB) sont parallèles.
\item \textit{Bonus}. Soit P le milieu du segment [BC]. Placer P et coder la figure.
\item \textit{Bonus}. Construire le cercle ${\cal C}$ de centre P et passant par le point B.
\item \textit{Bonus}. \textbf{Que remarquez-vous ?}. Il semble que le cercle ${\cal C}$ passe aussi par les points A et C et que son centre appartienne à la droite $(d)$.
Le fait que le point C appartienne au cercle vient du fait que son centre P est le milieu du segment [BC].
Le reste est une conjecture à notre niveau.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
%----------------------------------------------------
%----Figure
%----------------------------------------------------
\begin{center}

\newrgbcolor{uuuuuu}{0.27 0.27 0.27}
\newrgbcolor{srsrsr}{0.13 0.13 0.13}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.58,-2.58)(9.96,6.86)
\pspolygon[linecolor=uuuuuu,fillcolor=uuuuuu,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.76,-0.36)(8.76,-0.36)(1.76,4.64)
\pspolygon[linecolor=srsrsr,fillcolor=srsrsr,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.18,-0.36)(2.18,0.06)(1.76,0.06)(1.76,-0.36)
\pspolygon[linecolor=srsrsr,fillcolor=srsrsr,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.68,-0.36)(5.68,0.06)(5.26,0.06)(5.26,-0.36)
\psline(1.76,-0.36)(8.76,-0.36)
\psline(1.76,-0.36)(1.76,4.64)
\psline[linecolor=uuuuuu](1.76,-0.36)(8.76,-0.36)
\psline[linecolor=uuuuuu](8.76,-0.36)(1.76,4.64)
\psline[linecolor=uuuuuu](1.76,4.64)(1.76,-0.36)
\psline(5.26,-2.58)(5.26,6.86)
\psline(1.76,-0.36)(5.26,-0.36)
\psline(3.48,-0.27)(3.48,-0.45)
\psline(3.55,-0.27)(3.55,-0.45)
\psline(5.26,-0.36)(8.76,-0.36)
\psline(6.98,-0.27)(6.98,-0.45)
\psline(7.05,-0.27)(7.05,-0.45)
\rput[tl](5.58,3.4){$CB \, = \, 8.6$}
\rput[tl](2.06,2.26){$AB \, = \, 5$}
\rput[tl](3.8,0.54){$AC \, = \, 7$}
\psline(1.76,4.64)(5.26,2.14)
\psline(3.56,3.46)(3.46,3.32)
\psline(5.26,2.14)(8.76,-0.36)
\psline(7.06,0.96)(6.96,0.82)
\pscircle(5.26,2.14){4.3}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](1.76,-0.36)
\rput[bl](1.38,-0.56){$A$}
\psdots[dotstyle=*](8.76,-0.36)
\rput[bl](8.94,-0.38){$C$}
\psdots[dotstyle=*](1.76,4.64)
\rput[bl](1.58,4.86){$B$}
\psdots[dotstyle=*](5.26,-0.36)
\rput[bl](4.86,-0.78){$M$}
\psdots[dotstyle=*](5.26,2.14)
\rput[bl](5.34,2.26){$P$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
% exercice 5
%----------------------------------------------------------------
\exercice{(4 points)}
Un collège organise une sortie scolaire. Les 550 élèves doivent être transportés par des bus ayant 45 places.
La location d'un bus coûte 700 euros. La mairie de Paris décide de financer la totalité de cette sortie.\\

\begin{enumerate}
\item \textbf{Combien de bus sont nécessaires pour transporter tous les élèves ?}\\
Par division euclidienne de 550 par 45 on obtient $550=45\times12+10$. \\
Il faudra donc \textbf{13 bus}, 12 bus plein et un bus avec seulement 10 élèves (plus les professeurs ?).
\item \textbf{Combien la mairie de Paris va-t-elle payer pour cette sortie ?}\\
Un bus coûte 700 euros, donc la mairie devra payer $700\times13 =$ \textbf{9 100 euros}. 
\item \textbf{Si la mairie n'avait pas financé la sortie, combien chaque élève aura-t-il payé ?}\\
Il aurait alors fallu partager les 9 100 euros entre les 550 élèves.\\
Par division décimale on obtient : 9 100 $\div$ 550 $\approx$ 16,54 euros. Un quotient égale à 16,54 et un reste de 300 centièmes\\
\textbf{1$^{ère}$ solution}.\\
On aurait donc demandé \textbf{16,55 euros à chaque élève}, le reste de l'argent aurait par exemple été utilisé pour une autre sortie. \\
$16,55\times550=$ 9 102,5 euros donc il y a seulement 9 102,5 - 9 100 = 2,5 euros en trop.\\
\textbf{2$^{ème}$ solution}.\\
On demande \textbf{16,54 euros à chaque élève} et le collège paye les 300 centièmes = 3 euros manquant.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\end{document}