Énigme : Le produit de deux nombres à deux chiffres

Details: Category: Énigmes; Published: 04 February 2014; Last Updated: 09 February 2014; Hits: 33822

Calcul mental : Multiplication de deux nombres à deux chiffres

On veut calculer facilement les produit suivants :

On a :

Pour trouver A = 98 × 87
- 98 = 100 - 2 et 87 = 100 - 13
- Les unités sont données par : 2 × 13 = 26
- Les centaines par : 98 - 13 = 85 = 87 - 2
  c'est à dire (100 - 2 - 13)
  - Le produit A = 8 526

Pour trouver B = 92 × 79
- 92 = 100 - 8 et 79 = 100 - 21
- Les unités sont données par : 8 × 21 = 168 = 100 + 68
  On rajoute donc 1 aux centaines,
- Les centaines par : 1 + 92 - 21 = 72 = 1 + 79 - 8
  - Le produit B = 7 268

Pour trouver C = 91 × 93
- 91 = 100 - 9 et 93 = 100 - 7
- Les unités sont données par : 9 × 7 = 63
- Les centaines par : 91 - 7 = 84 = 93 - 9
  - Le produit C = 8 463

Mais pourquoi cela marche-t-il ? Explications ...

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Chacun des deux facteurs est un entier de deux chiffres de la forme (100 - a) et (100 - b) où a et b sont des entiers

Le produit noté N peut donc s'écrire :

$$ N=(100-a) \times (100-b) $$

En développant on obtient

$$N= 100\times 100 - 100a - 100b + ab$$

$$N= 100\times \Big( 100 - a - b \Big) + ab$$

Et donc :

Les centaines sont déterminées par : 100 - a - b
Les unités sont représentées par : a × b
Et lorsque le produit a × b dépasse 100,
- Si 100 ≤ a × b ≤ 199 : on ajoute 1 aux centaines, les unités sont alors 100 - ab ;
- Si 200 ≤ a × b ≤ 299 : on ajoute 2 aux centaines, les unités sont alors 200 - ab ;
- Si 300 ≤ a × b ≤ 399 : on ajoute 3 aux centaines, les unités sont alors 300 - ab ;
  ...

Il fallait y songer...

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