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Calcul mental
Comment multiplier facilement deux nombres à deux chiffes proches de 100 ?
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Aurélien Alvarez, enseignant-chercheur en mathématiques. Le défi n°10 concerne un problème calcul de périmètre d'un cercle...
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Aurélien Alvarez, enseignant-chercheur en mathématiques. Le défi n°9 concerne un problème de parking...
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Énigme : Les douzes questions piéges.
- 1ère énigme :
Treize oiseaux sont dans un cerisier. Un chasseur passe et tue un oiseau.
Combien reste-t-il d'oiseaux dans le cerisier ? - 2ème énigme :
Un panier de fruits pèse 11 kilos. Les fruits seuls pèsent 10 kilos de plus que le panier vide.
Combien pèse le panier vide ? - 3ème énigme :
Je suppose que nous possédons, toi et moi, la même somme d'argent.
Combien dois-je te donner pour que tu aies 10€ de plus que moi ? - 4ème énigme :
Un escargot décide d'atteindre le toit d'une maison. Le mur fait 10 mètres de haut. L'escargot monte pendant la journée de trois mètres, mais la nuit, il glisse et redescend de deux mètres. En combien de temps parvient-il sur le toit ? - 5ème énigme :
Vous participez à une course cycliste; à un moment donné, vous doublez le deuxième.
Vous devenez... - 6ème énigme :
Comment pouvez-vous vous tenir derrière votre père, tandis qu'il se tient aussi derrière vous ? - 7ème énigme :
Une vieille clocharde fait la récolte des mégots de cigarette dans les cendriers pour récupérer le tabac qu'elles contiennent encore et rouler ainsi ses propres cigarettes. Elle sait qu'il lui faut 7 mégots pour faire une cigarette.
Si elle ramasse 49 mégots, combien de cigarettes pourra-t-elle se rouler ? - 8ème énigme :
Un artisan doit réaliser 100 plaques de rues numérotées de 1 à 100.
Combien de fois devra t-il écrire le chiffre 9 ? - 9ème énigme :
Dans une pièce il y a quatre coins et dans chaque coin il y a un tabouret et devant chaque tabouret il y a trois tabourets. Combien y a-t-il de tabourets ? - 10ème énigme :
Une brique pèse un kilo + une demi-brique. Combien pèse une brique ? - 11ème énigme :
Un libraire achète un livre 70 euros, le vend 80€, le rachète 90€ et le revend 100€. Quel est son bénéfice ? - 12ème énigme :
Le nénuphar mutant d'un l'étang double de surface chaque jour.
Au bout de 100 jours, il recouvre tout l'étang. Au bout de combien de jours en recouvrait-il la moitié ?
Et les solutions...
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Énigme : Les 12 questions piégées - Solutions.
- 1ère énigme : Solution.
Treize oiseaux sont dans un cerisier. Un chasseur passe et tue un oiseau. Il n'en reste aucun, les autres se sont envolés. - 2ème énigme : Solution.
Un panier de fruits pèse 11 kilos. Les fruits seuls pèsent 10 kilos de plus que le panier vide.Le panier vide pèse donc 0,5kg (les fruits seuls pèsent 10 kg de plus soit 10,5 kg !!). - 3ème énigme : Solution.
Je suppose que nous possédons, toi et moi, la même somme d'argent. => soit X euros.
Pour que tu aies 10€ de plus que moi, tu dois me donner 5€ !! => J'ai ainsi (X-5) euros et toi (X+5). - 4ème énigme : Solution.
Un escargot décide d'atteindre le toit d'une maison. Le mur fait 10 mètres de haut. L'escargot monte pendant la journée de trois mètres, mais la nuit, il glisse et redescend de deux mètres.
L'escargot arrive donc au sommet le soir du 8ème jour (les 7 premiers jours, il ne montait que d'un mètre par jour; le 8ème, il parvient au sommet). - 5ème énigme : Solution.
Vous participez à une course cycliste, si vous doublez le deuxième, vous devenez donc deuxième. - 6ème énigme : Solution.
Comment pouvez-vous vous tenir derrière votre père, tandis qu'il se tient aussi derrière vous?
En vous plaçant dos à dos. - 7ème énigme : Solution.
Avec les 49 mégots, elle roule 7 cigarettes les fume puis récupère donc 7 autres mégots et peut ainsi rouler une 8ème cigarette ! - 8ème énigme : Solution.
Pas 11 mais 20 fois.
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90-91-92-93-94-95-96-97-98 et 99. - 9ème énigme : Solution.
Il y a 4 tabourets, un dans chaque coin. - 10ème énigme : Solution.
Une brique pèse 2kg. - 11ème énigme : Solution.
Le bénéfice est de 20 € bien sûr. - 12ème énigme : Solution.
Il recouvrait la moitié au bout de 99 jours (puisqu'il double chaque jour).
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Aurélien Alvarez, enseignant-chercheur en mathématiques. Le défi n°8 concerne un problème de chapeaux...
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Le problème des trois portes de Monty Hall
Lors d'un jeu télévisé américain des années 60, Let's Make a Deal ! , le présentateur, Monty Hall montrait trois portes fermées au candidat et affirmait que derrière l'une d'entre-elles se cachait un cadeau (une voiture) et qu'il suffisait d'indiquer la bonne porte pour gagner.
- Étape 1 :
Le candidat choisit une des 3 portes ;
Pour l'instant on n'ouvre pas cette porte.
- Étape 2 :
Ensuite le présentateur ouvre l'une des deux portes autre que celle qui a été choisie et autre que celle qui cache la voiture. Précisons qu'en fait, le présentateur sait où la voiture est cachée, il ouvre une porte "perdante" ; - Étape 3 :
Le candidat a le choix entre maintenir son premier choix ou le changer et l'autre porte.
Les questions qui se posent au candidat sont :
- Que doit-il faire ?
- Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?
Et la solution...
Solution du problème de Monty Hall, les trois portes
- Étape 1 : Au debut, chaque porte a la même probabilité d'être gagnante, soit une chance sur 3, p=1/3.
Considérons que nous choisissions la premiere porte, la voiture a 1 chance sur 3 d'être derriere la 1ère et donc 2 chance sur 3 d'être parmi les 2 portes qui restent.
- Étape 2 : Parmi les deux portes qui restent, le présentateur ouvre une mauvaise.
- Étape 3 : Maintenant c'est assez simple, la voiture a :
- 1 chance sur 3 d'être derriere la porte choisie au début ;
- et 2 chances sur 3 d'être derrière la porte restante.
Il faut donc changer de choix de porte.
Généralisation du problème de Monty Hall
Si l'on résume ce qui précède, avec 3 portes, la probabilité de trouver la "porte gagnante" en changeant de choix est de p = 2/3.
- Imaginons maintenant le même jeu avec 4 portes, et le présentateur qui ouvre 2 portes perdantes sur les 3 restantes,
alors on aura p = 3/4 = 75% de gagner en changeant de choix ! - De même, avec 5 portes : p = 4/5 = 80% de chances de gagner en changeant de choix.
- Avec 100 portes, p = 99/100 = 99% de chances de gagner en changeant de choix.
- Avec n portes, p = (n-1)/n = 1 - 1/n
Mathématisation de la résolution, théorème de Bayes
Le théorème de Bayes, du nom du mathématicien et révérend anglais, Thomas BAYES (1701 ou 1702 - 1761) permet, étant donné deux évènements G et O, de déterminer la probabilité de G sachant O, si l'on connaît les probabilités :
- de G ;
- de O ;
- de O sachant G.
On montre que : P(G/O) = P(O/G)×P(G)/P(O)
Supposons que nous choisissions la porte n°1 – le raisonnement serait identique dans les deux autres cas - et notons :
- G1 (respectivement G2 et G3) : la voiture se trouve derrière la porte n°1 (resp. 2 et 3)
- O1 (respectivement O2 et O3): l'animateur ouvre la porte perdante n°1 (resp. 2 et 3)
Supposons alors que l'animateur ouvre la porte 3 - (le raisonnement est le même s'il ouvre la porte 2).
La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors
- La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2, sachant que l'animateur a ouvert la porte n°3,
c'est-à-dire P(G2/O3).
Or, d'après la formule de Bayes : P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)
- Il reste alors à calculer P(O3) avec la formule des probabilités totales :
P(O3)= P(O3∩G1) + P(O3∩G2) + P(O3∩G3)
P(O3)= P(O3/G1)×P(G1) + P(O3/G2)×P(G2)+ P(O3/G3)×P(G3)
- P(O3/G3) = 0
En effet, si la voiture est derrière la porte n°3 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage,
la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°2 donc P(O3/G3) = 0 ; - P(O3/G2) = 1
En effet, si la voiture est derrière la porte n°2 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage,
la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°3 donc P(O3/G2) = 1 ; - P(O3/G1) = 1/2
En effet, si la voiture est derrière la porte n°1 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage,
l'animateur a deux choix équiprobables (la porte 2 ou la porte 3) donc P(O3/G1) = 1/2. - De plus, P(G1) = P(G2) = P(G3) = 1/3
- P(O3/G3) = 0
Donc :
- P(O3) = (1/2) × (1/3) + 1 × (1/3) + 0 × (1/3)
P(O3) = 1/2
Et pour conclure :
- P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)
P(G2/O3) = 1×(1/3)/(1/2)
P(G2/O3) = 2/3
La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors P(G2/O3) = 2/3.
Compléments
- Kevin Spacey dans Las Végas 21 : Le problème probabiliste des trois portes de Monty Hall présenté dans le film Las Vegas 21 par l'acteur Kevin Spacey.
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Jean-Hervé Cohen, professeur de mathématiques en classe préparatoire. Le défi n°7 concerne des demi-verres
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Jean-Hervé Cohen, professeur de mathématiques en classe préparatoire. Le défi n°6 concerne un nombre mystère.
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Jean-Hervé Cohen, professeur de mathématiques en classe préparatoire. Le défi n°5 concerne les probabilités et les cordes à nouer.
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.Le défi de la semaine est posé par Jean-Hervé Cohen, professeur de mathématiques en classe préparatoire. Il vous propose résoudre un problème d'allumettes.