Les Formes Quadratiques

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Formes quadratiques, histoires et définition.

Définition.

Définition. [Gour2] p 225 , [MonAl2] p 119, [Hprepa] p97
Soit IK un corps de caractéristique différente de 2.
On appelle forme quadratique sur E, un IK-ev, toute application de la forme : q : E → IK telle que q(x) = φ ( x , x) où φ est une forme bilinéaire sur E.

Propriété. 

1°) Pour toute forme quadratique q sur E, il existe une unique forme bilinéaire symétrique φ telle que q(x) = φ ( x , x).

On la nomme forme polaire de q, et l'on a : φ ( x , y) = 1/2 . [ q(x+y) - q(x) - q(y) ] = 1/4 . [ q(x+y) - q(x-y) ]

2°) Soit φ une forme bilinéaire symétrique sur E², et B=(e1,..,en) une base de E.

On note Mat B (φ) = ( φ ( e1,ej) )

Alors si A = Mat B (φ), on a : φ ( x , y) = tX.A.Y et q(x) = tX.A.X   (pour X = Mat B (x) et Y = Mat B (y) ) 

Par exemple 

L'application q définie sur IR3 par q(x) = 3x² - 2y² + 8xy + 6yz - 4xz est une forme quadratique sur IR3 

car c'est un polynôme homogène de degré 2 (en fonction des coordonnées de la base canonique). Alors :

fquad

Histoire

Jean DIEUDONNE ([Dieudo]p64) considère qu'il n'y a pas véritablement de théorie algébrique des formes quadratiques au 18ème siècle (pas vraiment d'algèbre linéaire non plus).

En analyse.

En analyse, LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813) étudie les extremums relatifs de fonctions à plusieurs variable.
Il construit une forme quadratique en réunissant les termes de dégré 2 dans le développement de TAYLOR de la fonction au voisinage du point.

En dehors de cela, on ne rencontre au 18ème siècle que des formes quadratiques de 2 ou 3 variables. Avec les coniques et notamment la poursuite des travaux effectué par FERMAT Pierre de (1601-1665) , avec les quadriques étudiées par EULER(1707 - 1783) et avec les équations diophantiennes du second degré).

 

Les travaux d'EULER Leonhard (1707- 1783).

EULER Leonhard (1707- 1783) cherche par un changement d'axes rectangulaire à ramener l'équation de la quadrique à une forme plus simple (Ax² + By² + Cz² + D = 0). 
Il montre que si l'équation initiale de la quadrique est ax²+a'y²+a''z² + 2byz+2b'zx+2b''xy+cx+c'y+c''z+d = 0, une telle réduction n'est possible que si : ab²+a'b'²+a''b''²-aa'a''-2bb'b'' ≠0.

Ceci correspond au du déterminant de la matrice de la forme quadratique : q(x,y,z) = ax² + a'y² + a''z² + 2byz + 2b'zx + 2b''xy

On a det A = aa'a'' + 2bb'b'' - ab² - a'b'² - a''b''² (on peut appliquer la règle de SARRUS) et quand ce déterminant n'est pas nul, les coefficient A, B, C sont les valeurs propres de la matrice A.
Puis LAGRANGE retrouve un problème similaire en 1773 en étudiant le mouvement d'un corps solide.

Les travaux de CAUCHY Augustin-Louis (1789-1857)

Enfin CAUCHY en 1826 (pour préparer son enseignement à l'école politechnique) reprend ce problème de réduction d'une quadrique à ses axes. [DaDaPe] précise la problématique de CAUCHY.


CAUCHY étudie une quadrique (surface du second degré) dont le centre est pris comme origine.
Cette quadrique est d'équation : Ax² + By² + Cz² + 2Dyz + 2Ezx + 2Fxy = K.

Cherchant à en déterminer les axes principaux, il obtient une équation exprimant qu'un certain déterminant Δ est nul.

Ce Δ constitue le polynôme caractéristique de la matrice de la forme bilinéaire associée à la forme quadratique.
Il démontre que les racines de ce polynôme (i.e. les valeurs propres de la matrice) sont réelles. Puis il montre que ce polynôme est indépendant de tout changement d'axex rectangulaires (i.e. les transformations semblables ont même valeurs propres).

Compléments.

En algèbre au 18ème siècle, l'objectif principal des mathématiciens est la recherche de transformations linéaires permettant de ramener des formes quadratiques (∑aii xi² + ∑aii aij.xi.xj , pour 1 ≤ i < j ≤ n ) à 2 ou 3 variables à des types simples.

On cherche donc à classes ces formes quadratiques par des invariants caractérisant ces formes réduites.

EULER Leonhard (1707- 1783) obtient en géométrie sa classification des quadriques, et LAGRANGE et GAUSS développe leur théorie des formes binaires en arithmétique (ax² + bxy + cy² = n, avec a,b,c,n, x et y entiers). ([Dieudo] p 97 et p 165)

Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles.

Approche historique.

L'étude des extremum de fonctions de plusieurs variables commence en fait avec l'étude des formes quadratiques.

Les formes quadratique : pour plus de précision sur ce sujet ⇒ voir la page formes quadratiques.

Jean DIEUDONNE ([Dieudo]p64) considère qu'il n'y a pas véritablement de théorie algébrique des formes quadratiques au 18ème siècle (pas vraiment d'algèbre linéaire non plus).

En analyse, LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813) étudie les extremums relatifs de fonctions à plusieurs variable.
Il construit une forme quadratique en réunissant les termes de dégré 2 dans le développement de TAYLOR de la fonction au voisinage du point.

En dehors de cela, on ne rencontre au 18ème siècle que des formes quadratiques de 2 ou 3 variables. Avec les coniques et notamment la poursuite des travaux effectué par FERMAT Pierre de (1601-1665) , avec les quadriques étudiées par EULER(1707 - 1783) et avec les équations diophantiennes du second degré).

Etude des surfaces.

Le mathématicien français MONGE Gaspard (1746-1818). étudie les surface et dans son Application de l'analyse à la géométrie (avec Jean-Nicolas Hachette, 1807) il introduit la notion de ligne de courbure et les termes ellipsoïde, hyperboloïde et paraboloïde.
Dès 1801, il est le premier à utiliser systématiquement les équations aux dérivées partielles pour étudier les surfaces. [HaSu] p 245

La notion d'extremum. [Dieudo]p353

On arrive, vers la fin du 19ème siècle, à distinguer les notions d'extremum fort, correspondant à la notion de voisinage, et d'extremum faible. C'est avec le mathématicien français FRÉCHET Maurice (1878-1973) que ces notions reçoivent une formulation plus précise. Il publie à ce sujet, en 1906, son traité Sur quelques points du calcul fonctionnel.

Cours sur : Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. (Version PDF)

 On considère une fonction f définie sur une partie U ⊂ IRp , à valeur dans IR.

 

1 – Définitions.

  • La fonction f admet un maximum local en a ssi :
    a 
  • La fonction f admet un minimum local en a ssi :
    a
  • La fonction f admet un maximum ou minimum local strict en a : idem avec des  inégalités strictes.
  • La fonction f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min, resp max…
  • La fonction f admet un extremum global en a ssi :
    a 
  • a est un point critique de f ssi les dérivées partielles de f en a existent et sont nulles.

 

2 – Conditions nécessaires.


Théorème.
a

 

3 – Conditions suffisantes.

U ouvert de IRp et f C²(U).

3.a : Taylor Young ordre 2.
b

3.b : Théorème général : Cas des fonction de p variables réelles.

Soit a un point critique de f. On définit la forme quadratique définit sur b par :

b

La matrice hessienne H de Q dans la base canonique de IRp est :

hessienne

  • Si Q est positive et non dégénérée ( soit si le spectre Sp(H) ⊂ IR+\{0} ), alors f admet un minimum local strict en a.
  • Si Q est négative et non dégénérée ( soit si le spectre Sp(H) ⊂ IR-\{0}), alors f admet un maximum local strict en a.
  • Si Q n’est ni positive, ni négative : alors pas d’extremum local en a.
3.b : Théorème pour les fonctions de 2 variables.
On utilise les notations de MONGE, du nom du mathématicien français MONGE Gaspard (1746-1818).


a

  • Si 
    alors f admet un minimum strict en a.
  • Si 
    alors f admet un maximum strict en a.
  • Si (s² - rt > 0) alors f n’admet pas d’extremum local en a.
    On dit alors que f admet un point-selle (ou un point col en a)

 

4 - Exemples :           

Exemple 1  :    ,                 f admet deux minimums locaux en A(1 ;-1) et B(-1 ;1)

f(x,y) = x^4 + y^4 - (x-y)²

Exemple 2  :              a                f admet un point selle en A(-2/3 ; 0) 
Point selle

5 – Extremums globaux.


Proposition :

limite

On a l'implication suivante

Les Formes Différentielles

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Les Formes Différentielles.

Approche historique.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

Pour des compléments : ⇒ Approche historique sur les fonctions de plusieurs variables et la notion de dérivées partielles.

COURS. (Version PDF)

1 - Définitions. 

      
1a : ω est une forme différentielle sur U.

Sur IR².
ω application de U → L( IR², IR)  telle qu ’il existe P, Q, de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy

Sur IR3.
ω application de U → L( IR3, IR)  telle qu ’il existe P, Q, R de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy + R(x,y) dz

1b : ω est une Forme différentielle exacte (ou admettant des primitives ou totale).

ω exacte sur U ssi il existe F : U →  IR de classe C1(U) telle que pour a de U :  da F= ω(a) 

Sur IR² : Cela correspond à :

 

1c. Potentiel scalaire.    : Soit F champ de vecteur de classe C1 sur IR3

 F dérive d’un potentiel scalaire (ou admet) 
si il existe un champ scalaire  f de U ⊂ IR3 → IR  , de classe C1, tel que :

F=gradient f


A toute forme différentielle :

forme différentielle

 On peut associer le champ de vecteurs

champs de vecteurs

Alors

w exacte et derive d'un potentiel

1d : ω est une Forme différentielle fermée.
Sur IR² : ω fermée si :

w fermée sur IR²

Sur IR3 : ω fermée si :

w fermée sur IR3

Sur IRp : ω fermée si :

w fermée sur IRp               

1e : Partie étoilée.
segment

- X étoilé par rapport à A si :      ∀M∈X on a  [AM] ⊂ X

- X étoilé si :      ∃ A∈X tq X étoilé par rapport à A.

Remarque : toute partie convexe est étoilée par rapport à chacun de ses points

 

2 - Théorèmes.  U ouvert de IRp

 

2a : Proposition.

Si U connexe et ω exacte ⇒ ω admet au moins une primitive F et les autres sont de la forme {F + a, a ∈IR  }

2b : Théorème.

exacte implique fermée

2c : Théorème de POINCARÉ. Du nom du mathématicien français POINCARÉ Jules Henri (1854-1912).

th poincaré

2d : Théorème.

Les opérateurs différentiels

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Les Opérateurs Différentiels.

Approche historique.

Nabla. [CajoV2] p 135
Le mathématicien irlandais HAMILTON William Rowan (1805-1865) introduit l'opérateur Nabla en 1853 dans ses Lectures on Quaternions. Cependant le d rond ∂, de cet opérateur (indiquant les dérivées partielles), n'apparait que chez A McAulay dans son Octonions en 1898.
Le mathématicien et physicien écossais TAIT Peter Guthrie (1831 - 1901) développera l'utilisation de l'opérateur Nabla dans dans ses Elementary Treatise on Quaternions (1867), et Introduction to Quaternions (1873).
HAMILTON utilise le symbole et TAIT lui préfère le Δ inversé dans An Elementary Treatise on Quaternions (1867).
Le symbole Δ inversé pour désigner cet opérateur est appelé Nabla par le mathématicien anglais HEAVISIDE Oliver (1850-1925).

Gradient. [CajoV2] p 135
Le symbole grad est utilisé par l'écossais James Clerk MAXWELL (1831 -1879), et les allemands RIEMANN (1826-1866) et WEBER Heinrich (1842-1913).

Divergence. [CajoV2] p 135
The terme DIVERGENCE fut introduit par William Kingdon CLIFFORD (1845-1879) dans son Elements of Dynamic (1878).
L'opérateur divergence est utilisé par GIBBS (1839 - 1903) et HEAVISIDE Oliver (1850-1925) avec l'opérateur Nabla.

Rotationnel. (Curl en anglais) [CajoV2] p 135
En 1873, James Clerk MAXWELL (1831 -1879) introduit dans A Treatise on Electricity and Magnetism l'opérateur rotationnel qu'il nomme curl. Puis E. B. WILSON dans Vector Analysis (1901) propose la notation du rotationnel avec Nabla. 

Cours sur les opérateurs différentiels. (Version PDF)

 

1 – Pour f champ scalaire : Nabla, Gradient et Laplacien.     

 Soit f une application de U ouvert de IRn  à valeur dans IR

Opérateur Nabla.

nabla

Gradient de f. Pour f fonction C1(U)

gradient

Laplacien : Pour f C²(U)

laplacien

2 – Champ de vecteur : Divergence et rotationnel.

Application f de U ouvert de IR3 (resp. IR²) , à valeur dans IR3 (resp. IR²) , f = (f1,f2,f3) avec les fi C1(U)

Divergence :

divergence

Rotationnel :

rotationnel

3 - Propriétés des opérateurs différentiels.

3a : Linéarité.
Les opérateurs gradient, rotationnel et divergence sont linéaires.

3b : Produits. (Sous réserves d'existence)

3c : Composées



4 – Potentiel scalaire. 

On considère un champ de vecteurs F de U⊂ IR3 dans IR3, de classe C1.

F dérive d’un potentiel scalaire (ou admet un potentiel scalaire)
si il existe un champ scalaire f de U⊂IR3 → IR  , de classe C1 sur U, tel que : 

Théorème.
1°) Si  dérive F d’un potentiel scalaire alors :

2°) Si  

et si U est étoilé, alors F dérive d’un potentiel scalaire

Remarque : se démontre avec le théorème de Poincaré.

Calcul différentiel

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Calcul différentiel et dérivées partielles.

I - Approche historique.

II - Cours. 

  1. Dérivées partielles.
  2. Dérivées partielles secondes.
  3. Différentielles.
  4. Bilan.
  5. Différentielles de fonctions C1.
  6. Exemples importants.
  7. Compléments : Taylor- Young ordre 2. 

Approche historique :

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

Pour des compléments : ⇒ Approche historique sur les fonctions de plusieurs variables et la notion de dérivées partielles.

Cours sur le calcul différentiel et les dérivées partielles. (format PDF)

Pour alléger les écritures, on considérera toujours f une fonction définie sur U, un ouvert de IRp et à valeurs dans IRn, a est un vecteur de U,
 aa

 1 – Dérivées partielles.

f admet une dérivée partielle première ( dp1) en a ∈ IRp par rapport à xj, si la limite suivante existe :  


a

  • Remarque importante : 
    a .
    a
  • Propriétés. 
    • a.
    • a :

a

    • a.

2 – Dérivées secondes.

a. 
aa

3 – Différentielles.


a :
a

Propriétés.

  • a
  • a.
  • a.
  • a.
  • a
  • a
  • a.
  • a
    (Avant on nommait fonction continûment différentiable une fonction C1)

 

 

4 - Bilan
a

5 - Différentielles de fonctions C1.

  • f est C1(U)  ⇒

a

aa

  • On note pj la projection définie par : pj(h) = hj (application linéaire), alors :
    da pj = pj = dxj  (notation car indépendant de a),

a

  • Jacobien : de JACOBI Carl Gustav Jacob (1804-1851)

    a
    a, 
    Le jacobien de f en a est le déterminant de cette matrice.

  • Composition d’applications C1.      

a

a

a

a 

6 – Exemples importants

    • Fonctions linéaires : 
      f linéaire L(IRn, IRp) ⇒ f est C1 et daf = f 

      Par exemple, la fonction linéaire Trace, est différentiable et : dA tr = tr. 
    • Fonctions bilinéaires :
      f bilinéaire de IRp× IRn dans F ⇒ f est différentiable et pour h=(h1,h2) et a(a1,a2)
       a  
      Par exemple, Le produit scalaire, le produit vectoriel sont différentiables.

    • Fonctions usuelles.
      • Si f de IR dans IR ,
        a 

      • Racine carrée sur IR+  :
        a,    a            (h ∈ IR et a ∈ IR+ )

    • Application norme.               sur E espace euclidien (donc de dim. finie).
      • a
        est différentiable en tout x ≠ 0 de E (non différentiable en 0) et 
        a 

      • a
        est différentiable en tout x de E et 
        a 

    • Matrices. (consultez aussi la page sur l'histoire de la notion de matrice)
      • Carrée.
        f  : Mn(IR) dans Mn(IR)  telle que f(A) = A² est différentiable sur Mn(IR) et 
      • Déterminant. 

        f  : Mn(IR) dans IR          telle que f'A) = det(A) est différentiable sur Mn(IR)
        a     a
        a

      Inverse..
      f : GLn(IR) dans Mn(IR) telle que f(X) = X-1 est différentiable sur GLn(IR)
      a

7 – Compléments : Taylor- Young ordre 2.

Taylor Young ordre 2 : TAYLOR Brook (1685-1731) et YOUNG William Henry (Londres 1863 - Lausane (Suisse) 1943   

      a

Fonctions à plusieurs variables

Details
Category: Analyse à Plusieurs Variables

Histoire des fonctions à plusieurs variables, des dérivées partielles et calcul différentiel.

Histoire.

Pages liées :

 Introduction.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

1. Les dérivées partielles premières.

Deux mathématiciens sont considérés comme les pères des dérivées partielles. 
Tout d'abord , le français CLAIRAUT Alexis-Claude (1713-1765) en 1747, puis le suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) dans son traité Institutiones calculi differentialis de 1755.
Ils étudient ce que l'on nomme maintenant, la différentielle totale pour des fonctions de deux variables réelles :

df=

Notation : [Cajo]

Le symbole ∂ est utilisé en 1770 par CONDORCET Marie Jean Antoine Caritat de (1743-1794) dans "Memoire sur les Equations aux différence partielles," publié dans Histoire de L'Academie Royale des Sciences (1773).

Cependant le ∂ fut pour la première fois utilisé par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) en 1786 dans "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations.

LEGENDRE abandonne cette notation par la suite, elle est réintroduite et vulgarisée par Carl Gustav Jacob JACOBI en 1841 dans De determinantibus Functionalibus" publié dans le Journal de Crelle en 1841.

CLAIRAUT (1713-1765) et EULER Leonhard (1707 - 1783) constatent que la différentielle totale de f prend la même forme si l'on exprime df à l'aide de x,y,dx et dy ou par changement de variables, avec X, Y, dX et dY.
On a en effet les relations :


Les équations aux dérivées partielles du premier ordre ne sont étudiée de façon générale que vers 1770. 
EULER montre qu'une famille de fonctions z = f(x,y,a,b) vérifie une telle équation. [Dieudo] p 43 

2. Les dérivées partielles secondes.

Au 18e siècle, les mathématiciens doivent apprendre à maitriser des équations d'ordre supérieur lorsqu'ils se consacrent aux problèmes de la Mécanique des corps déformables, de la théorie de l'élasticité et de l'hydrodynamique.
Les dérivées partielles secondes apparaissent notament lors de la fameuse étude de l'équation aux cordes vibrantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance à la théorie des séries de FOURIER (1768-1830).
Le français D'ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donné en 1747, une solution de ce problème qui se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (avec d'autres notations) : [DaDaPe] p 223[Dieudo] p 47

équations aux cordes vibrantes

2.a : Notation : [Cajo] et [Encyclo. U] 

Le mathématicien allemand JACOBI Carl Gustav Jacob (1804-1851) propose la notation usuelle des dérivées partielles secondes :

2.b : Le théorème de SCHWARZ.

EULER et CLAIRAUT considéraient que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations mais c'est le mathématicien allemand SCHWARZ Hermann Amandus (1843-1921) qui prouva en 1873 que la formule :fs

est valable si l'un des deux membres est continu par rapport à l'ensemble des variables (théorème de SCHWARZ). 

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) donne l'exemple de la fonction définie parf

prolongée par continuité en posant f(0,0)= 0, pour laquelle les permutations des dérivées partielles n'est pas licite.

Sources.

  • [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
  • [Dieudo] : Jean DIEUDONNÉ, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann Editeurs, Paris, nouvelle édition 1986.
  • [Encyclopédia Universalis]

Derniers Articles