- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Formules de Viète : Relations entre racines et coefficients des polynômes
Les formules de Viète établissent des relations précises entre les racines d'un polynôme et ses coefficients. Elles permettent de déterminer des sommes et produits des racines sans les connaître explicitement.
François Viète a introduit ses célèbres formules établissant des relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients dans son ouvrage majeur In artem analyticem isagoge, publié en 1591. Ce traité, considéré comme le fondement de l'algèbre moderne, marque une étape cruciale dans l'histoire des mathématiques.
1. François Viète : Un Pionnier de l'Algèbre Symbolique
François Viète (1540–1603) était un mathématicien français, avocat et conseiller des rois Henri III et Henri IV. Il est considéré comme l'un des fondateurs de l'algèbre moderne. Viète a introduit l'utilisation systématique des lettres pour représenter les inconnues et les coefficients dans les équations, posant ainsi les bases du calcul littéral.
En 1591, il publie In artem analyticem isagoge, un ouvrage révolutionnaire qui formalise l'algèbre en tant que discipline distincte de la géométrie. Dans ce traité, Viète présente ses méthodes pour résoudre les équations algébriques et introduit les notations symboliques qui seront largement adoptées par la suite.
Dans cet ouvrage il introduit ses célèbres formules établissant des relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients.
Ce traité, considéré comme le fondement de l'algèbre moderne, marque une étape cruciale dans l'histoire des mathématiques.
2. Formulation générale de Viete
Soit un polynôme de degré \( n \) :
$$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$
Supposons que \( P(x) \) admette \( n \) racines (réelles ou complexes) \( r_1, r_2, \ldots, r_n \). Alors, les formules de Viète s'expriment comme suit :
- Somme des racines : $$ r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} $$
- Somme des produits deux à deux : $$ \sum_{1 \leq i < j \leq n} r_i r_j = \frac{a_{n-2}}{a_n} $$
- Produit des racines : $$ r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} $$
De manière générale, pour \( k = 1, 2, \ldots, n \) :
$$ \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} r_{i_1} r_{i_2} \cdots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $$
3. Exemples concrets
Polynôme de degré 2
Considérons le polynôme :
$$ P(x) = 3x^2 - 5x + 2 $$
Les coefficients sont :
- \( a = 3 \)
- \( b = -5 \)
- \( c = 2 \)
Appliquons les formules de Viète :
- Somme des racines : $$ r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3} $$
- Produit des racines : $$ r_1 r_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3} $$
Polynôme de degré 3
Considérons le polynôme :
$$ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $$
Les coefficients sont :
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 11 \)
- \( d = -6 \)
Appliquons les formules de Viète :
- Somme des racines : $$ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = 6 $$
- Somme des produits deux à deux : $$ r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a} = 11 $$
- Produit des racines : $$ r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a} = 6 $$
4. Applications pratiques
Les formules de Viète sont particulièrement utiles pour :
- Vérifier des solutions d'équations polynomiales.
- Établir des relations entre les racines sans les calculer explicitement.
- Résoudre des problèmes en algèbre et en analyse, notamment dans l'étude des polynômes symétriques.
5. Pour aller plus loin
📘 Ouvrages de François Viète contenant les formules
- In artem analyticem isagoge (1591)
Ce traité, dont le titre signifie "Introduction à l'art analytique", est le premier à utiliser systématiquement des lettres pour représenter les inconnues et les coefficients dans les équations algébriques. Viète y introduit les concepts de zététique (mise en équation des problèmes), poristique (examen des propositions) et exégétique (résolution des équations), posant ainsi les bases de l'algèbre littérale. - Zeteticorum libri quinque (1591)
Dans ces cinq livres, Viète applique sa méthode analytique à divers problèmes mathématiques, illustrant l'utilisation de ses notations symboliques pour résoudre des équations. - De numerosa potestatum ad exegesim resolutione (1600)
Cet ouvrage approfondit la résolution des équations polynomiales, notamment en ce qui concerne l'extraction des racines et les relations entre les puissances des racines et les coefficients.
📚 Accès aux textes originaux
- In artem analyticem isagoge est disponible en version numérisée sur l'Internet Archive :
https://archive.org/details/bub_gb_BWTyywN39KEC - Zeteticorum libri quinque et d'autres œuvres de Viète sont accessibles via la Bibliothèque nationale de France ou d'autres bibliothèques numériques spécialisées.
Pour approfondir vos connaissances sur les formules de Viète, vous pouvez consulter les ressources suivantes :
{module [116]}
- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Identité de Newton – Sommes de puissances et racines de polynômes
L’identité de Newton (ou formules de Newton-Girard) relie les sommes des puissances des racines d’un polynôme à ses coefficients. C’est une technique classique utilisée pour retrouver ou anticiper des puissances élevées sans connaître explicitement les racines.
Isaac Newton (4 janvier 1643 – 31 mars 1727 )
1. Définition générale
Soit un polynôme :
\( P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n \)
On note ses racines \( r_1, r_2, \ldots, r_n \), et les puissances :
\( S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k \)
Alors pour tout entier \( k \geq 1 \), la formule de Newton donne :
$$ S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0 $$
2. Exemple
Soient \( a, b, c \) trois nombres réels tels que :
- \( a + b + c = 1 \)
- \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \)
- \( a^3 + b^3 + c^3 = 3 \)
On pose \( S_n = a^n + b^n + c^n \). Pour relier les \( S_n \), on suppose que \( a, b, c \) sont racines d’un polynôme de degré 3 :
$$ P(x) = x^3 - p x^2 + q x - r $$
Par les formules de Viète, on sait alors que :
- \( p = a + b + c \)
- \( q = ab + bc + ca \)
- \( r = abc \)
Les sommes \( S_n \) vérifient pour tout \( n \geq 3 \) la relation de récurrence :
$$ S_n = p S_{n-1} - q S_{n-2} + r S_{n-3} $$
soit ici
$$\boxed{ S_n = (a + b + c) \times S_{n-1} - ( ab + bc + ca) \times S_{n-2} + abc \times S_{n-3} }$$
Détermination des coefficients
À partir de \( a + b + c = 1 \), on a directement \( p = 1 \).
Ensuite, on utilise :
$$ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) $$
D’où : \[ 2 = 1^2 - 2q \quad \Rightarrow \quad q = -\frac{1}{2} \]
Puis avec : \[ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc \]
On obtient : \[ 3 = 1^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-\tfrac{1}{2}) + 3r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{6} \]
Récurrence finale
La relation entre les \( S_n \) devient donc :
$$ S_n = S_{n-1} + \frac{1}{2} S_{n-2} + \frac{1}{6} S_{n-3} $$
Calculs explicites
On connaît :
- \( S_1 = 1 \)
- \( S_2 = 2 \)
- \( S_3 = 3 \)
On en déduit :
$$S_4 = 3 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{6} \times 1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} $$
$$ S_5 = \frac{25}{6} + \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{6} \times 2 = \frac{25}{6} + \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{36}{6} = \boxed{6} $$
Conclusion : $$ \boxed{a^5 + b^5 + c^5 =6} $$
3. Tableau de récurrence des identités de Newton
Les identités de Newton, également appelées formules de Newton-Girard, établissent une relation entre les sommes des puissances des racines d'un polynôme et ses coefficients. Ces relations permettent de calculer les sommes \( S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k \) sans connaître explicitement les racines \( r_i \).
Considérons un polynôme unitaire de degré \( n \) :
$$ P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n $$
Soient \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) les racines de \( P(x) \). On définit :
$$ S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k $$
Les identités de Newton établissent que, pour tout entier \( k \geq 1 \) :
$$ S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0 $$
avec la convention que \( a_j = 0 \) pour \( j > n \).
Relations pour les premières valeurs de \( k \)
| Ordre \( k \) | Formule de Newton |
|---|---|
| 1 | \( S_1 + a_1 = 0 \) |
| 2 | \( S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0 \) |
| 3 | \( S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0 \) |
| 4 | \( S_4 + a_1 S_3 + a_2 S_2 + a_3 S_1 + 4a_4 = 0 \) |
Exemple d'application
Considérons le polynôme :
$$ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $$
Les coefficients sont :
- \( a_1 = -6 \)
- \( a_2 = 11 \)
- \( a_3 = -6 \)
Calculons \( S_1 \) :
$$ S_1 + a_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_1 = -a_1 = 6 $$
Puis \( S_2 \) :
$$ S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_2 = -a_1 S_1 - 2a_2 = -(-6)(6) - 2(11) = 36 - 22 = 14 $$
Et \( S_3 \) :
$$ S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0 $$ $$ S_3 = -a_1 S_2 - a_2 S_1 - 3a_3 = -(-6)(14) - 11(6) - 3(-6) = 84 - 66 + 18 = 36 $$
Ces relations permettent de calculer les \( S_k \) de manière récursive, en utilisant les coefficients du polynôme et les valeurs précédemment calculées de \( S_j \) pour \( j < k \).
4. Anecdotes sur Newton
- Isaac Newton a développé ces formules en lien avec ses travaux sur les suites symétriques.
- Il a aussi écrit des textes sur l’alchimie, la Bible, et l'optique.
- Il a dirigé la Royal Society et inventé un télescope à miroir révolutionnaire.
- En 1668, Newton invente le premier télescope à miroir, dit télescope de Newton, pour corriger les défauts des lunettes astronomiques. Présenté à la Royal Society en 1672, cet instrument révolutionne l'observation astronomique en utilisant la réflexion plutôt que la réfraction.
Une réplique du télescope réflecteur que Newton présenta à la Royal Society en 1672
(le premier qu’il fabriqua en 1668 fut prêté à un fabricant d’instruments, mais on ne sait pas ce qu’il est devenu par la suite)
5. Liens utiles sur Math93
{module [116]}
- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Les Nombres Premiers : Percées Récentes et Mystères Séculaires
- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Les Nombres Premiers : Percées Récentes et Mystères Séculaires
- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Centrale Supélec 2013 :
Sujets et corrigés des Concours Centrale Supélec en mathématiques
Description du concours
Le concours Centrale-Supélec réunit 10 écoles : les cinq Ecoles centrale de Paris, Lyon, Lille, Nantes et Marseille, ainsi que Supélec, SupOptique, l'ENSEA (Ecole nationale supérieure de l'électronique et de ses applications), l'ENSIIE (Ecole nationale supérieure d'informatique pour l'industrie et l'entreprise) ainsi que l'Ecole navale de Brest.
2 107 Places en 2013
- Filière MP : 956 places.
- Filière PC : 526 places.
- Filière PSI : 625 places.
Pour avoir les sujets et corrigés ... http://www.mathexams.fr
{module [104]}
- Details
- Category: Histoire des Mathématiques
Médaille Fields
Souvent comparé au prix Nobel, La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense attribuée aux mathématiciens.
Les lauréats se voient attribuer chacun une médaille et un prix de 15 000 dollars canadiens, soit environ 11 324 euros.
La Médaille Fields est décernée à 2 à 4 récipiendaires tous les 4 ans depuis 1936, par un comité désigné par l'Union mathématique internationale. Elle vise à récompenser des travaux de recherche majeurs mais également à encourager la réalisation d'autres de recherche en mathématiques. Il est de coutume que cette distinction soit décernée à un mathématicien d'au plus 40 ans.
Sur les 56 médailles décernées depuis 1936, 12 récipiendaires sont français !
Le mathématicien canadien John Charles Fields (1863-1932), proposa la création de cette médaille en 1923 lors d'une réunion internationale à Toronto. À sa mort, en 1932, il lègue ses biens à la science, 47 000 $, afin de financer la médaille.
John Charles Fields (1863-1932)
À l'origine, seules deux médailles étaient décernées tous les quatre ans. La Seconde Guerre mondiale a interrompu l'attribution de cette distinction jusqu'en 1950. La décision de passer à quatre lauréats au plus date de 1966.
Les lauréats...
Les lauréats de la médaille Fields
- 2014 le franco-brésilien Artur Avila, l'américano-canadien Manjul Bhargava, l'autrichien Martin Hairer et, pour la première fois depuis sa création, une mathématicienne, l'iranienne Maryam Mirzakhani.
- 2010 Elon Lindenstrauss (Israel), Ngô Bảo Châu (Viet-Nam et France), Stanislav Smirnov (Russie), Cédric Villani (France)
- 2006 Andreï Okounkov (Russie), Grigori Perelman (Russie, prix décliné), Terence Tao (Australie), Wendelin Werner (France)
- 2002 Laurent Lafforgue (France), Vladimir Voevodsky (Russie)
- 1998 Richard Ewen Borcherds (Afrique du Sud), William Timothy Gowers (Royaume-Uni), Maxim Kontsevich (France et Russie), Curtis McMullen (États-Unis)
- 1994 Jean Bourgain (Belgique), Pierre-Louis Lions (France), Jean-Christophe Yoccoz (France), Efim Zelmanov (Russie)
- 1990 Vladimir Drinfeld (URSS), Vaughan Jones (Nouvelle-Zélande), Shigefumi Mori (Japon), Edward Witten (États-Unis)
- 1986 Simon Donaldson (Royaume-Uni), Gerd Faltings (Allemagne), Michael Freedman (États-Unis)
- 1982 Alain Connes (France), William Thurston (États-Unis), Shing-Tung Yau (Chine)
- 1978 Pierre Deligne (France), Charles Fefferman (États-Unis), Gregori Margulis (URSS), Daniel Quillen (États-Unis)
- 1974 Enrico Bombieri (Italie), David Mumford (États-Unis)
- 1970 Alan Baker (Royaume-Uni), Heisuke Hironaka (Japon), Sergueï Novikov (URSS), John Griggs Thompson (États-Unis)
- 1966 Michael Atiyah (Royaume-Uni), Paul Cohen (États-Unis), Alexandre Grothendieck (France, Grothendieck était apatride mais a passé la plus grande partie de sa vie en France. ), Stephen Smale (États-Unis)
- 1962 Lars Hormander (Suède), John Milnor (États-Unis)
- 1958 Klaus Roth (Royaume-Uni), René Thom (France)
- 1954 Kunihiko Kodaira (Japon), Jean-Pierre Serre (France)
- 1950 Laurent Schwartz (France), Atle Selberg (Norvège)
- Pas de prix en 1940, 1944, 1948 : La Seconde Guerre mondiale a interrompu l'attribution de cette distinction jusqu'en 1950
- 1936 Lars Ahlfors (Finlande), Jesse Douglas (États-Unis)
Palmarès de la Médaille fields par pays...
Palmarès de la Médaille fields par pays
- États-Unis : 12 Médailles Fields.
- France : 11 Médailles Fields.
- URSS (3) / Russie (6) soit 9 Médailles Fields.
- Royaume-Uni : 5 Médailles Fields.
- Japon : 3 Médailles Fields.
- Belgique : 2 Médailles Fields.
- Afrique du Sud : 1 Médaille Fields.
Allemagne : 1 Médaille Fields.
Australie : 1 Médaille Fields.
Chine : 1 Médaille Fields.
Finlande : 1 Médaille Fields.
Israël : 1 Médaille Fields.
Italie : 1 Médaille Fields.
Norvège : 1 Médaille Fields.
Nouvelle-Zélande : 1 Médaille Fields.
Suède : 1 Médaille Fields.
Viêt Nam : 1 Médaille Fields.
Médaille Fields et prix Nobel...
Médaille Fields et prix Nobel
Les mathématiques ne sont pas récompensées par un prix Nobel.
Beaucoup de légendes visent à justifier cette étrange absence. Le plus marquante repose sur une histoire de jalousie. Nobel n'aurait pas souhaité que le prix soit attribué à Gösta Mittag-Leffler, un mathématicien suédois qui lui aurait volé sa femme !
Légende démentie depuis, mais amusante, alors ...
-
- => Pour en savoir plus sur cette étrange histoire : Pourquoi pas de prix Nobel de mathématiques ?
La médaille...
La médaille
- La médaille remise au récipiendaire de la Médaille Fields a été dessinée par le sculpteur canadien R. Tait McKenzie.
- Sur l'avers, un portrait de profil d'Archimède et une citation en latin du poète Manilius, Astronomica, IV, v. 392 : « Transire suum pectus mundoque potiri » (« traverser ton propre cœur (= franchir tes limites) et te rendre maître de l'univers (par la connaissance »).
- Sur le revers, l'inscription latine :
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBUERE
« Les mathématiciens s'étant rassemblés du monde entier ont remis cette récompense en raison de remarquables écrits. »
Dans l'arrière-plan, une représentation de la tombe d'Archimède, avec la gravure de son théorème « De la sphère et du cylindre » derrière un rameau.
- La tranche porte le nom du lauréat.
Subcategories
Les Mathématiciens
Je vous propose de découvrir la vie, parfois épique, l'oeuvre et les contributions scientifiques de célèbres mathématiciens qui ont marqué l'histoire.
• La liste complète est une présentation succincte de nombreux mathématiciens.
• Les autres articles sont des développements plus poussés sur les figures marquantes du paysage mathématique.
Les Symboles Mathématiques
Je vous propose l'histoire fascinante et mystèrieuse de l'apparition et de l'utilisation des symboles mathématiques que nous utilisons.
• La liste complète est une présentation complète et synoptique de tous les symboles en indiquant le mathématicien qui l'a utilisé pour la première fois.
• Les autres articles sont des développements plus poussés sur l'histoire de l'apparition de certains symboles.
Notions et Théorèmes
Je vous propose l'histoire fascinante et mystèrieuse de l'apparition et de l'utilisation de notions et de théorèmes célèbres en mathématiques.
• La liste complète est une présentation synoptique de nombreux théorèmes et notions indiquant le mathématicien associé.
• Les autres articles sont des développements plus poussés sur l'histoire de l'apparition de certaines notions, de certains théorèmes.