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CHASLES Michel
né le 15 novembre 1793 à Épernon (Eure-et-Loir, 28) et mort le 18 décembre 1880 à Paris, France.
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Sa vie
Né à Epernon, Chasles suit des études au Lycée impérial à Paris et entre à l'École polytechnique en 1812.
Il fut mobilisé, en 1814, pour la défense de Paris et accepté dans le corps du génie. Il y renonça pour se consacrer aux études.
Après quelques travaux en géométrie, il devient agent de change et mène une vie mondaine qui le conduit à la ruine.
Il reprend alors ses travaux.
En 1841 il enseigne à l'École polytechnique puis à la Sorbonne en 1846, une chaire de géométrie supérieure y est d'ailleurs créée pour lui. Il entre à l'Académie des sciences en 1851.
Michel Chasles devient membre étranger de la Royal Society le 15 juin 1854.
En 1865, Chasles reçoit la Médaille Copley pour ses recherches historiques et nouvelles en géométrie pure. C'est la médaille la plus prestigieuse et la plus ancienne (elle est décernée pour la première fois en 1731) attribuée par la Royal Society de Londres.
Son apport en mathématiques
Chasles élabore d'importants travaux en géométrie projective en redémontrant (sans les connaître), beaucoup de travaux du mathématicien suisse Jacob STEINER (1796-1863).
Il réintroduit la notion de birapport (oubliée depuis DESARGUES), étudie la transformation de figures et de propriétés géométriques par les homographies. C'est d'ailleurs lui qui introduit ce terme.
Chasles est un grand défenseur des méthodes géométriques alors délaissées. Ses travaux sur l'histoire de la géométrie ont permis de réhabiliter ceux du géomètre français Girard Desargues (1591-1661), considéré comme l'un des fondateurs de la géométrie projective et de Philippe de La Hire (1640-1718), un mathématicien, physicien, astronome et théoricien de l'architecture français.
La relation de Chasles...
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Les relations de Chasles
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- Pour les vecteurs
Soit A, B et C trois points d'un espace affine :
$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$$
- Pour les angles de vecteurs
Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs d'un plan vectoriel euclidien orienté :
$$\widehat{(\vec{u}~,~\vec{v})}+\widehat{(\vec{v}~,~\vec{w})}=\widehat{(\vec{u}~,~\vec{w})}$$
- Pour les intégrales
Soient des réels \(a\), \(b\) et \(c\) et une fonction \(f\) intégrable sur les segments considérés :
$$\int_a^{b} f(x) dx + \int_b^{c} f(x) dx = \int_a^{c} f(x) dx$$
Histoire de la relation de Chasles
Chasles expose la relation qui porte son nom à la page 46/643 de son Traité de géométrie supérieure (1852) qui est disponible sur le site de la BNF (Gallica).
Chasles notait ab le segment orienté d'origine a, d'extrémité b et posait ba = -ab en énonçant :
Pour trois points a, b et c d'une même droite, la relation : ab + bc + ca = 0
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Où est inhumé Michel Chasles ?
La plupart des sources précisent que le mathématicien Michel Chasles est inhumé au cimetière du Père-Lachaise à Paris, dans la division 17. En témoigne sa sépulture surmontée d'un sarcophage.
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| Tombe de Michel Chasles au cimetière du Père-Lachaise (Paris, France) | |
Cependant, un groupe de passionnés de cimetières (source Philippe Landru) a découvert en janvier 2013, une autre tombe qui porte le nom de Michel Chasles, au cimetière Saint-Chéron de Chartres. Le mystère reste entier !
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Michel Chasles le collectionneur
Michel Chasles est un collectionneur d'autographe. Le faussaire Vrain-Lucas en profite alors pour lui vendre un grand nombre de lettres écrites de la main de personnes célèbres.
Il aurait acheté naïvement une lettre de Marie-Madeleine à Lazare, qu'il paya deux cent mille francs.
Mais aussi, des lettres du grand Pascal ! Des lettres adressées au chimiste anglais Robe Boyle, et traitant de sujets scientifiques !
Des lettres établissant qu'on attribue à l'anglais Newton des découvertes dont l'honneur appartient Pascal, puisque voici l'auteur des Pensées parlant — là, dans ce billet — dès 1648, du système des lois d'attraction dont Newton ne devait avoir la révélation que vingt ans plus tard !
Chasles dépose le 8 juillet 1865 à l'Académie des sciences, les lettres de Pascal qui furent insérées dans le compte rendu de l'académie.
La fraude fut découverte par Chasles lui-même et l'affaire Vrain-Lucas, fut appelée, en février 1870, devant la sixième chambre correctionnelle de Paris. A l'audience Chasles vint en personne exposer, comment il avait découvert la supercherie dont il était victime.
Compléments
- Le nom de Chasles est présent parmi les 72 qui figurent sur la Tour Eiffel à Paris.
- Une rue du 12ème arrondissement de Paris porte son nom.
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Oeuvres
- Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837), impr. Hayez, Bruxelles
- Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science : la dualité et l'homographie (1837), impr. Hayez, Bruxelles
- Traité de géométrie supérieure (1852), 1 vol. in-8° (XLII-585 p.-12 p. de pl.), Bachelier, Paris (2e édition par Gauthier-Villars en 1880)
- Les Trois Livres de Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois, d'après la notice et les lemmes de Pappus (1860), 1 vol. in-8° (IX+324 p.), impr. Mallet Bachelier, Paris
- Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure (1865), éd. Gauthier-Villars, Paris
Sources
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
- Cimetières de France : http://www.landrucimetieres.fr/spip/
- Gallica, bibliothèque numérique de la BNF : Source
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Pierre-Louis LIONS
Né le 11 août 1956 à Grasse (06130, Alpes-Maritimes), France.
Médaille Fields 1994, Pierre-Louis LIONS est le fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001).
Son parcours
- Il est reçu major à Polytechnique et à l'ENS,
- En 1975 : Pierre-Louis Lions entre à l'École normale supérieure (Paris).
- En 1979 : il obtient son doctorat, dirigé par Haïm Brézis, en 1979 à l'Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris, 75005).
- De 1979 à 1981 : il poursuit ses recherches au CNRS puis devient professeur à l'université de Paris-Dauphine.
- Depuis 1992 : Pierre-Louis Lions est professeur de mathématiques appliquées à l'École polytechnique et professeur invité au Conservatoire national des arts et métiers en 2000.
- Il est nommé professeur au Collège de France en 2002, où il est titulaire de la chaire « Équations aux dérivées partielles et applications ».
- En septembre 2006, il a été nommé membre du Haut conseil de la science et de la technologie.
- En 2009, il est nommé président du conseil d'administration de l'École normale supérieure en remplacement du conseiller d'État Jean-Claude Mallet.
Ses travaux
- Les travaux mathématiques de Pierre-Louis Lions portent sur la théorie des équations différentielles partielles non linéaires.
- On lui doit notamment un travail conjoint avec M. G. Crandall sur les solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi, des avancées sur l'équation de Boltzmann et l'équation de Navier-Stokes, et le très célèbre principe de concentration-compacité.
- Depuis 2006, les travaux de Pierre-Louis Lions, ainsi que ses cours au Collège de France, portent sur la théorie des jeux à champ moyen qu'il a développée avec Jean-Michel Lasry.
=> Le calcul différentiel : Histoire et développements (niveau prépa)
Distinctions honorifiques
- Docteur honoris causa de l'Université de Heriot-Watt (Édimbourg) et de la City University of Hong-Kong
- Membre de l'Académie des Sciences,
- membre de l'Académie des Technologies et de l'Istituto Lombardo
- Prix Doisteau-Blutet (1986)
- Prix IBM (1987)
- Prix (d'équipe) Philip Morris pour la Science (1991)
- Prix Ampère (1992)
- Médaille Fields (1994)
- Prix (d'équipe) Institut de Finance Europlace (2003)
- Prix Thomson (2004)
- Grand Prix Inria (2012) : Un papier fort intéressant sur son appétence pour les mathématiques lui est consacré sur le site de l'Inria.
Il a encadré de nombreuses thèses dont celle de Cédric Villani, lauréat de la médaille Fields en 2010.
Compléments
=> Interview de Pierre-Louis Lions
=> Un cours de 50 min de Pierre-Louis lions au collège de France, le 26 novembre 2010.
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Kenneth APPEL
né le 8 octobre 1932 à Brooklin, New York et décédé le 19 avril 2013 (à 80 ans) à Dover, New Hampshire, USA.
Sa vie.
Kenneth Ira Appel est un célèbre mathématicien américain qui a résolu en 1976, avec son collègue Wolfgang Haken à Université de l'Illinois (Urbana-Champaign), l'un des plus célèbres problèmes de mathématiques, le problème des quatre couleurs.
Ils démontrèrent que toute carte à deux dimensions peut être coloriée avec quatre couleurs de façon à ce que deux pays voisins soient toujours de couleurs différentes.
Appel est né à Brooklyn, New York le 8 Octobre 1932 et mort à Dover, New Hampshire le 19 Avril, 2013, d'un cancer oesophagien.
Kenneth Ira Appel, fils d'Irwin Appel et de Lillian Sender Appel, grandit dans le Queens à New York.
Il travaille comme actuaire pour une courte période, puis sert dans l'armée américaine pendant deux ans, à Fort Benning, en Géorgie avant de partir servir en Allemagne, à Baumholder.
En 1959, il achève son doctorat à l'Université du Michigan, et épouse Carole S. Stein à Philadelphie. Les nouveaux mariés déménagent alors à Princeton, New Jersey, où Kenneth travaille pour l'Institut for Defense Analyses (IDA) de 1959 à 1961.
Son travail principal à l'Institut d'analyse concernait la cryptographie.
En 2012, il est élu Fellow de l'American Mathematical Society.
Kenneth Appel était également le trésorier du comité démocrate du comté de Strafford. Il a joué au tennis jusque la cinquantaine, était un collectionneur de timbres, un joueur du jeu de Go.
Carole et lui ont deux fils, Andrew W. Appel, un informaticien remarquable, et Peter H. Appel, ainsi qu'une fille, Laurel F. Appel, décédée le 4 Mars 2013.
Kenneth Appel a également cinq petits-enfants : Avi et Joseph Appel, Rebecca et Nathaniel Weir, et Carmen Appel.
Études, recherches et enseignement
Kenneth Appel reçu son diplôme de baccalauréat au Queens College en 1953. Après avoir servi dans l'armée, il fréquente l'Université du Michigan, et y obtient sa maîtrise en 1956, puis son doctorat en 1959 sous la direction de Roger Lyndon, un mathématicien spécialiste de théorie des groupes.
Après avoir travaillé pour l'Institut for Defense Analyses, en 1969, il rejoint le département de mathématiques de l'Université de l'Illinois en tant que professeur adjoint. Kenneth Appel travaille alors sur la théorie des groupes et la computability theory.
En 1977, il obtient le titre professeur et, avec Wolfgang Haken, il prouve le théorème de quatre couleurs.
En 1979, ils reçoivent le prix Fulkerson Delbert Ray, décerné par l'American Mathematical Society et la Société mathématique de programmation pour leur travail et la preuve de ce théorème.
En 1993, il s'installe à New Hampshire et y obtient le poste de président du département de mathématiques à l'Université du New Hampshire.
En 2003, la carrière d'enseignant de Kenneth Appel prend fin. Pendant sa retraite, il se porte volontaire dans les programmes d'enrichissement en mathématiques à Dover et dans les écoles publiques du sud du Maine.
Pour lui « les élèves devraient avoir la possibilité d'étudier les mathématiques au niveau de leur capacité, même si elle est bien au-dessus de leur niveau scolaire.»
Sa contribution aux mathématiques
Kenneth Appel est surtout connu pour ses travaux en topologie, qui est la branche des mathématiques qui étudie certaines propriétés des figures géométriques.
Ses travaux le portent à s'intéresser avec son collègue et ami, Wolfgang Haken, au fameux théorème des quatre couleurs ; qu'ils démontrent en 1976.
Le New York Times a écrit en 1976 :
«La conjecture des quatre couleurs a été prouvé par deux mathématiciens de l'Université de l'Illinois, Kenneth Appel et Wolfgang Haken. Ils avaient un outil précieux que les mathématiciens antérieures n'avaient pas, les ordinateurs modernes.
Leur preuve repose sur plus de 1 200 heures de calculs effectuées par ordinateur. Cela représente environ dix milliards de décisions logiques. La preuve de la conjecture des quatre couleurs est une prouesse intellectuelle. Cela nous donne un nouvel éclairage important sur la nature de l'espace à deux dimensions et de la manière dont un tel espace peut être divisé en parties distinctes. »
Au début, la plupart des mathématiciens étaient très réservés sur cette nouvelle forme de démonstration.
"la plupart des mathématiciens, même à la fin des années 1970, n'avaient pas de réel intérêt à utiliser les ordinateurs. C'était presque comme si ceux d'entre nous qui aimait jouer avec les ordinateurs faisaient quelque chose de non-mathématique ou de suspect ».
La preuve a été l'une des plus controversées des mathématiques modernes en raison de sa forte dépendance à l'ordinateur.
Elle a suscité des critiques de beaucoup dans la communauté mathématique pour son inélégance :
"une bonne preuve mathématique est comme un poème - or il s'agit d'un annuaire téléphonique "!
=> Pour en savoir plus sur le théorème des 4 couleurs.
Sources
- Tasker Funeral Service : 621 central ave, Dover, USA.
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Thomas BAYES
né en 1701(ou 1702) à Londres et mort en 1761 à Tunbridge Wells, Royaume-Uni.
Prêtre et théologien ne dépendant pas de l'Eglise anglicane (non conformiste), Thomas Bayes exerce à Tunbridge Wells près de Londres. Il s'exerce aux mathématiques pendant son temps libre et, bien qu'il ne publie aucun écrit scientifique, il acquiert une notoriété certaine. Il entre ainsi à la Royal Society en 1742.
Il s'intéresse avant tout aux probabilités et on lui doit la formule dite de la probabilité des causes qui n'est d'ailleurs pas publiée de son vivant. Son ami Price retrouve ses écrits et les fait publier après sa mort. [HaSu]
Le théorème de Bayes, permet, étant donné deux évènements A et B, de déterminer la probabilité de A sachant B, si l'on connaît les probabilités :
-
-
- de A ;
- de B ;
- de B sachant A.
-
C'est à dire : P(A/B) = P(B/A)×P(A)/P(B)
=> Voir une application de ce théorème : Le problème des 3 portes de Monty Hall
Compléments
Les controverses de la théorie.
Après sa mort, un de ses amis envoie à la Royal Society de Londres l'article titré « Essay towards solving a problem in the doctrine of chances » traitant de la toute nouvelle science statistique. Cet article sera publié en 1764. Acceptées en 1781 par Pierre de Laplace (1749-1827), mises en doute par George Boole (1815-1864), les statistiques bayésiennes seront longtemps sujet à controverses.
La date de sa mort.
La pierre tombale de Bayes dit qu'il est mort à l'âge de 59 ans, le 7 Avril 1761, de sorte qu'il est né soit 1701, soit en 1702. Certaines sources donnent à tort la date du 17 Avril, mais cela semble provenir d'une erreur d'écriture dupliquée.
La date de naissance est inconnue certainement car il fut baptisé dans une église dissidente, qui n'a pas gardé ses registres de baptême.
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Pierre DELIGNE
né le 3 octobre 1944 à Etterbeek dans la Région de Bruxelles, Belgique.
Pierre René Deligne est diplômé de l'Université de Bruxelles en 1966. Il soutient une thèse de doctorat en 1968, effectuée sous la direction d'Alexandre Grothendieck, à l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) près de Paris.
Notons qu'Alexandre Grothendieck est un mathématicien apatride mais résidant en France, lauréat de la médaille Fields en 1966, refondateur de la géométrie algébrique. Il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du xxe siècle.
En 1968, il travaille avec le mathématicien français Jean-Pierre SERRE, et publie des résultats importants sur les représentations l-adiques attachées aux formes modulaires.
De 1970 jusqu'en 1984, il s'installe aux États-Unis à l'Institute for Advanced Study "Institut d'étude avancée" un des plus prestigieux laboratoires au monde. Considéré comme le meilleur institut scientifique du pays, cet établissement privé situé à Princeton, New Jersey, a accueilli Albert Einstein, Gödel, Oppenheimer, von Neumann et Panofsky.
Contributions
La contribution la plus célèbre de Deligne est sa preuve de la troisième et dernière des conjectures de Weil.
Cette preuve a complété un programme initié et largement développée par Alexandre Grothendieck. En corollaire il a prouvé la célèbre conjecture de Ramanujan-Petersson pour les formes modulaires de poids supérieur à un ; (un poids a été prouvé dans son travail avec Serre).
En 1974, un papier de Deligne (1974) contient la première preuve des conjectures de Weil, la contribution étant de fournir l'estimation des valeurs propres de Frobenius Deligne, considéré comme l'analogue géométrique de l'hypothèse de Riemann.
Distinctions
Pierre Deligne a reçu :
- la médaille Fields en 1978 pour sa preuve des conjectures de Weil en géométrie algébrique,
- le prix Crafoord en 1988,
- le prix Balzan en 2004.
- Il est élevé au rang de vicomte par le roi Albert II de Belgique en 2006.
- Il a reçu le prix Wolf en mathématiques en 2008
- et le prix Abel en 2013.
Annexe
Voici un tableau rempli par Pierre Deligne lors d'une conférence donnée le vendredi 16 mai 2008 à l'ULB (Université libre de Bruxelles), sur la famille de courbes elliptiques y2=x(x-1)(x-λ).
Pour information, les courbes elliptiques sont des courbes importantes qui ont permis entre autres, la démonstration du grand théorème de Fermat (l'équation xn+yn=zn n'admet pas de solution entière pour n>2) par Andrew Wiles en 1995.
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AL-KASHI ou AL-KACHI
Né vers 1380, Kashan (Iran) - Mort en 1429, Samarkand (Ouzbékistan).
Al-Kachi ou Al-Kashi (« le natif de Kashan »), de son nom complet Ghiyath ad-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi, est un mathématicien et astronome perse qui vécut à la cour du prince Ulugh-Beg (1393-1449) à Samarkand.
Celui-ci est un fervent défenseur des sciences ce qui permet à Al-Kashi de pratiquer ses recherches à l'abri du besoin. Il participa activement à la conception de l'observatoire de Samarkand, inauguré vers 1429, qu'il dirigea par la suite.
Les Fractions décimales.
Son principal apport mathématique est l'introduction systématique des fractions décimales dont on a longtemps improprement attribué la paternité à Simon STEVIN. Ils développent leur utilisation dans son célèbre ouvrage Miftah al hisab (Clé de l'arithmétique).
L'opinion générale selon laquelle Stevin avait été le premier à introduire des fractions décimales fut mise en défaut, en 1948, lorsque P. Lucke a montré que dans la clé de arithmétique al-Kashi donne aussi clair une description des fractions décimales que Stevin. Cependant, prétendre qu'Al-Kashi est l'inventeur des fractions décimales, comme cela a été fait par de nombreux mathématiciens suite aux travaux de Luckey, serait loin de la vérité puisque l'idée était présente dans les travaux de plusieurs mathématiciens de l'école al-Karaji, en particulier chez le mathématicien arabe al-Samawal.
A la mort d'Ulugh-Beg, l'école de Samarkand s'exile à Constantinople ce qui permet la diffusion de son savoir chez les turcs puis en occident.
Pi avec 16 décimales !
Al-Kashi est un maitre du calcul, on lui doit des extractions de racines sixièmes de nombres en écriture sexagésimale (base 60) et surtout une approximation de pi avec une précision extraordinaire pour l'époque.
Il utilise pour cela la méthode des polygones d'Archimède et l'adapte en utilisant la formule de récurrence :
s(6) = 1 ; s(2p) = √[ 2 - √(4 - s²(p)) ]
Il utilise 27 fois cette formule dans son calcul ce qui revient à considérer un polygone de 3×228côtés !
Al-kashi obtient alors dans le système sexagésimal (base 60, hérité des babyloniens) :
2π = 6,16 59 28 01 34 51 46 14 50 soit π = 3,08 29 44 00 47 25 53 25. Valeur exacte (en base 60) jusqu'à la 16ème position !
=> Pour en savoir plus sur l'histoire du nombre pi.
La formule d'Al-kashi.
Le théorème d'Al-Kashi est aussi appélé loi des cosinus ou encore théorème de Pythagore généralisé.
Ce théorème de géométrie relie dans un triangle, la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés.
Il généralise ainsi le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.
Ce résultat est déjà connu du célèbre mathématicien grec Euclide dès le 3ème siècle av. J.-C. mais uniquement sous forme géométrique (sans la notion de fonction cosinus).
Cependant, assez étrangement, on lui associe en France uniquement, le nom du mathématicien perse Al-Kashi (14ème siècle) dès les années 1990 alors que les appellations théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus étaient utilisées jusque-là. C'est ainsi d'ailleurs que l'on nomme cette propriété, dans tout le reste du monde !
Le théorème d'al-Kashi s'énonce de la façon suivante :
Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure ci-dessus.
a² = b² + c² - 2bc.cosÂ
Sources.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- [Delah2] : Jean-Paul DELAHAYE, Le fascinant nombre pi, Belin - Pour la science, Paris, 1997.
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CANTOR Georg (1845-1918)
Né le 3 mars 1845, Saint-Pétersbourg (Russie) – mort le 6 janvier 1918, Halle, Allemagne.
Sa vie.
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor est né à Saint-Pétersbourg en Russie, d'un père danois et d'une mère autrichienne.
Cantor fit ses études universitaires d'abord à Zürich (Allemagne), puis à Berlin, où WEIERSTRASS fut son professeur en analyse, KUMMER en arithmétique et KRONECKER en théorie des nombres.
Il passe un semestre à l'université de Gottingen avant de soutenir sa thèse en 1867, qui constitue selon les spécialistes, l'un des derniers textes mathématiques écrits en latin : In re mathematica ars propendi pluris facienda est quam solvendi.
A partir de 1869, Cantor enseigna à l'Université de Halle.
Il fonda, en 1890, la Société des mathématiciens allemands et devint son premier président ; en 1897, il organisa le premier Congrès international de mathématiciens, à Zürich.
Dès 1884, il souffrit sporadiquement de dépressions profondes et il est mort à la clinique psychiatrique de l'Université de Halle.
Remarque : il est né et mort les mêmes années que le célèbre mathématicien italien Ulisse DINI (1845 - 1918)
Ses travaux : La génèse.
Des séries de Fourier aux ensembles.
Rapidement, CANTOR s'intéresse à la théorie des nombres mais HEINE Heinrich Eduard (1821-1881) l'encourage à étudier les séries de Fourier très en vogue à l'époque.
Il démontre alors que : Si une fonction est égale en tout point à la somme d'une série trigonométrique, celle-ci est unique.
Il cherche alors à généraliser ce résultat à certains types d'ensembles infinis, et c'est alors que commence son intérêt pour les ensembles.
Il définit les points limites d'un ensemble, qui constituent ce qu'il nomme l'ensemble dérivé. Puis, en réitérant le procédé, il obtient les ensembles dérivés d'ordre 2, 3, ..., n.
Ce travail l'amène, d'un part à réfléchir sur les ensembles infinis, d'autres parts à imaginer une construction du corps IR des nombres réels.
De la construction de IR à la théorie des ensembles.
Les nouvelles avancées en analyse induisent la nécessité de clarifier la construction du corps IR des nombres réels.
Ainsi, presque simultanément, quatre monstres sacrés, publient sur le sujet.
WEIERSTRAS (1863, publication en 1872), MERAY (1869), DEDEKIND (1872) et CANTOR (1872) proposent alors des constructions des nombres réels qui, s'ils elles diffèrent quelques peu, ont en commun l'utilisation de notions ensemblistes.
La correspondance avec DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916).
Lors d'un voyage avec sa femme à Interlaken en 1872, CANTOR rencontre Richard DEDEKIND. C'est de leurs échanges épistolaires que naît la fameuse théorie des ensembles.
La théorie des ensembles : Découvertes et théorèmes !
- \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{N}\) sont équipotents (1873) : A la fin de l'année 1873, CANTOR constate que l'ensemble des rationnels \(\mathbb{Q}\) est équipotent à l'ensemble des naturels \(\mathbb{N}\).
C'est à dire qu'il existe une bijection entre les deux ensembles. - \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{R}\) ne sont pas équipotents (7 et 9 décembre 1873) : Dans une lettre adressée à DEDEKIND, il démontre que \(\mathbb{R}\) n'est pas équipotent à \(\mathbb{N}\) et en conclut :
Il y a plusieurs infinis ! - \(\mathbb{R}^{n}\) et \(\mathbb{R}\) en correspondance biunivoque (25 juin 1877) :
A son grand étonnement, il démontre dans une lettre à DEDEKIND du 25 juin 1877 que l'on peut mettre \(\mathbb{R}^{n}\) en correspondance biunivoque avec \(\mathbb{R}\).
Ce résultat le surprend tellement qu'il supplie DEDEKIND (lettre du 29 juin) de lui confirmer la validité d ela démonstration.
Tant que vous ne m'aurez pas approuvé, je ne puis que dire : "Je le vois mais ne le crois pas". (En français dans le texte)
- Card(E) et P(E).
CANTOR montre que le cardinal des parties d'un ensemble E vaut :
$$Card~P(E) = 2^{ card(E)}$$
- Le théorème de CANTOR :
Pour tout ensemble E, le cardinal de E est strictement plus petit que celui de l'ensemble P(E) des parties de E.
Soit : Card E < Card P(E) = 2card(E)
L'hypothèse du continu.
- CANTOR définit ℵ0 (aleph zéro) comme le cardinal de l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
- ℵ0 : Le cardinal de \(\mathbb{N}\) : CANTOR prouve que ℵ0 : Le cardinal de \(\mathbb{N}\), est le plus petit cardinal transfini.
- Card IR = 2ℵ0 : CANTOR montre que le cardinal de \(\mathbb{R}\) est c = 2ℵ0 (c pour continium)
- L'hypothèse du continu.
CANTOR déduit alors que le plus petit des cardinaux strictement plus grand que ℵ0, qu'il note ℵ1, est inférieur ou égal au cardinal c de IR.
Il conjecture alors qu'il y a égalité et que donc : c = card IR = 2ℵ0 = ℵ1.
C'est ce que l'on nomme, hypothèse du continu.
En gros, il n'y aurait pas de cardinal entre celui de \(\mathbb{N}\) et celui de \(\mathbb{R}\).
- La démonstration négative !
La démonstration de cette conjecture est le premier des problèmes de HILBERT.
La réponse négative ne viendra que bien plus tard, par la conjonction des résultats de GODEL (1940) et de COHEN (1963).
Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable. Hilbert rattache ce problème à la question suivante : prouver que l'ensemble des nombres réels peut être bien ordonné.
Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent. Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen prouva qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.
Il semble avéré que c'est en essayant en vain de résoudre ce problème que CANTOR plongea dans la dépression.
=> Compléments sur l'hypothèse du continu.
Paradoxe de CANTOR et controverse.
Le paradoxe de CANTOR est le suivant :
-
- Considérons l'ensemble E de tous les ensembles.
- Tout ensemble étant une partie de E, le cardinal de E est le plus grand des cardinaux.
- Or l'ensemble des parties de E a d'après le théorème de CANTOR un cardinal strictement plus grand car : Card E < Card P(E) = 2card(E)
- Considérons l'ensemble E de tous les ensembles.
Les travaux révolutionnaires de Cantor sont très controversés.
Le premier de ses opposants est KRONECKER mais POINCARE, KLEIN et WEYL le critiquent aussi.
L'apparition des paradoxes en 1897 accentue encore la controverse et la réaction prend un caractère dramatique.
Compléments : Convergence uniforme et Continuité.
Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19ème siècle se sont interrogés sur la réciproque : Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?
Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.
- => Pour en savoir plus : La convergence uniforme.
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Articles Connexes
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Bibliographie.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- [Hauch2] : B. Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipse, Paris, 1988 (et nouvelle édition en 2007).
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DINI Ulisse
Né le 8 juillet 1904 à Nancy et décédé le 13 août 2008 (à 104 ans) à Paris, France.
Sa vie.
Né à Pise en 1904, Ulisse DINI fit ses études universitaires à Pise et à Paris.
Dès 1866, il enseigna à l'Université de Pise, dont il fut recteur de 1888 à 1890. Il fut notamment le professeur du mathématicien italien Guido FUBINI (1876-1943).
Ses travaux.
Ses travaux portent sur les fonctions d'une variable réelle et aux conditions pour qu'une limite d'une suite de fonctions continues soit continue. Un théorème porte son nom, le théorème de Dini.
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HIPPOCRATE de Chios
Né à Chios vers -470, mort vers -410, Grèce.
Le mathématicien grec HIPPOCRATE de Chios ne doit pas être confondu avec le célèbre médecin, Hippocrate le Grand ou Hippocrate de Cos (- 460 ; -370), lui originaire de l'île de Cos et fondateur de la médecine.
Tout d'abord marchand, HIPPOCRATE quitte son île natale de Chios au sud de Samos pour Athènes vers 430 av. J.-C. et devient un mathématicien réputé.
Selon la légende, il se serait fait dérober sa marchandise par des pirates et, furieux, les aurait poursuivis jusqu'à Athènes. Il découvre alors une cité fabuleuse et décide de s'y installer et d'y suivre des cours de mathématiques. Il y aurait par la suite gagné sa vie, en donnant lui même des cours de géométrie.
Son oeuvre ne nous est malheureusement pas parvenue. Il est seulement connue par un document tiré d'EUDÈME et de ses commentaires de SIMPLICIUS mais certains historiens lui attribue les livres III et IV des Éléments d'EUCLIDE.
Le philosophe Aristote (- 384 ; - 322) le considérait comme un grand géomètre, mais trouvait qu'au quotidien il paraissait plutôt « niais et stupide ».
HIPPOCRATE de Chios cherche à résoudre la quadrature du cercle qui consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas. Ce problème de quadrature est un des 3 grands problèmes de l'antiquité et il a dérouté les mathématiciens les plus prestigieux pendant près de 2 000 ans !
On sait seulement depuis 1882, grace au mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN, qu'elle est impossible à réaliser en un nombre fini de constructions à la règle et au compas.
Pour cela il introduit des lunules, parties comprises entre deux arcs de cercles de rayons différents. Il calcule alors l'aire de certaines d'entre elles et énonce le théorème dit théorème des deux lunules que l'on peut résumer ainsi :
La somme des aires des 2 lunules L1 et L2 est égale à l'aire du triangle ABC.
Il s'intéresse aussi au problème de la duplication du cube et il se rend compte que celui-ci se ramène à un problème de proportions, c'est à dire à la recherche des solutions de l'équation du troisième degré : x3 = 2a3.
Sources.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- Article de la revue Pour la Science, Les Génies de la science N°21 - novembre - fevrier 2004.
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ZHU Shijie (朱世杰)
Né à Yanshan près de l'actuel Pékin (Beijing) en 1270 - mort en 1330, Chine. (Map)
ZHU Shijie, souvent considéré comme l'un des plus grands mathématiciens chinois, était surnommé HANQING et signait ses papiers du nom de SONGTIN.
Après vingt années de voyage à travers le pays, il s'installe et devient professeur de mathématiques à Yangzhou, dans la vallée du Yangtsé, une ville commerçante riche et prospère.
Pendant cette période, il écrit deux traités, Introduction aux études mathématiques et le précieux miroir des quatres éléments (le ciel, la terre, l'homme et l'équation).
ZHU Shijie reprend l'oeuvre de YANG Hui (1238–1298) et l'améliore. Il donne des méthodes de calculs arithmétique et algébrique, et utilise même une notation matricielle pour la résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues.
Dans le précieux miroir des quatres éléments (vers 1303), il commence par un tableau donnant les coefficients du dévelopement du binôme (a+b)n, le triangle de YANG, découvert 2 siècles avant par JIA Xian (1010 - 1070), plus connu sous le nom de triangle de Pascal.
Le triangle de Pascal dans le "Miroir de jade des quatre inconnues" de ZHU Shijie (1260-1320).
Publié plus de 3 siècles avant les oeuvres du français PASCAL Blaise (1623 - 1662).
Bibliographie.
- [Kiyosi] : Kiyosi Yabuuti, Une histoire des mathématiques chinoises, Belin - Pour la science, Paris, 2000.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.