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Category: Les Symboles Mathématiques

Published: 04 September 2012

Last Updated: 01 October 2020

Les Fractions : Origines et symboles

Définition actuelle

Une fraction est un nombre appartenant à un ensemble, le corps des rationnels et noté Q.
Une fraction est en fait le quotient de deux nombres entiers, a divisé par b (avec b non nul), on la note : 

• • Le nombre a sera appelé numérateur et b dénominateur.
  • Une fraction dont le numérateur a est 1 est appelée fraction unitaire (cf. les fractions égyptiennes).
  • Compléments sur les opérations => Fiche de cours de collège.

Origines et notations 

Les premières civilisations anciennes qui nous ont laissé des sources permettant d'analyser assez justement leurs connaissances mathématiques sont les civilisations babylonienne (de -5 000 ans au début de notre ère) et égyptienne.
Toutes deux connaissaient et utilisaient les fractions.

1. Les babyloniens : Les premières fractions.

La numération que forgèrent les mathématiciens et astronomes de Babylone un peu avant l'époque du roi Hammourabi (environ 1792-1750 av.J.-C.) était une numération de position en base 60. (=> La numération babylonienne)

La valeur du symbole dépendait de sa position dans le nombre, comme dans la numération décimale indienne que nous utilisons actuellement.
Il leur était facile d'écrire des fractions. 

• Par exemple : Ce nombre a été trouvé sur une tablette babylonienne ancienne de la collection Yale. 

Il s'agit d'une approximation de la racine carrée de deux.
Les symboles uitilisés sont 1, 24, 51, et 10.
En base 60, ou sexagésimal, ce nombre est donc :  1 × 60⁰ + 24 × 60^-1 + 51 × 60^-2 +  10 × 60^-3, soit environ 1,414222.

Le système de numération babylonienne n'était pas un pur système de position en raison de l'absence d'un symbole pour le zéro.
Dans les tablettes anciennes, un espace a été placé dans l'endroit approprié dans le nombre, puis, un symbole pour le zéro semble apparaitre dans des tablettes plus récentes.

2. Les fractions égyptiennes

En dehors des entiers, les égyptiens ne concevaient que des fractions unitaires, c'est à dire des fractions de numérateur 1.
Ils admettaient que des fractions puissent avoir un numérateur différent de 1, ils refusaient de les manipuler et de calculer avec.
[...]

=> Consultez la page : Les fractions égyptiennes

3. Origine de la notation

Fractions ordinaires sans la barre horizontale

• Selon l'historien David Eugene Smith ^{[Smith2], page 215}, il est probable que notre méthode d'écriture des fractions ordinaires soit essentiellement due aux travaux des Hindous, bien qu'ils n'aient pas utilisé la barre horizontale.
  Par exemple, les mathématiciens indiens Brahmagupta (Multân, 598–668) et Bhaskara (vers 1150) ont écrit des fractions comme nous le faisons aujourd'hui, mais sans la barre. ^[CajoV1]
  
  

Fractions ordinaires avec la barre horizontale

• La barre de fraction horizontale a été introduit par les mathématiciens Arabes.

"Les Arabes d'abord copié la notation hindoue, mais plus tard il l'ont modifiée en insérant une barre horizontale entre les deux nombres"
D'après l'historien BURTON David.

Plusieurs sources attribuent la barre de fraction horizontale au mathématicien marocain AL-HASSAR Abu Bakr (vers 1200).
F. Cajori [CajoV1] p269 précise que AL-HASSAR, pour signifier trois cinquièmes et un tiers de cinq, utilisait la notation :

3 1
5 3

• Le célèbre mathématicien italien FIBONACCI (1175 - 1250) a été le premier mathématicien européen à utiliser la barre de fraction telle qu'elle est utilisée aujourd'hui.
  Il a suivi la pratique arabe en plaçant la fraction à gauche de l'entier ([CajoV1], page 311).
  
  
• La barre horizontale se trouve généralement dans les manuscrits latins du Moyen Âge tardif, mais lorsque l'impression a été introduite, elle fut souvent omise sans doute à cause des problèmes typographiques liés à son utilisation.
  Ceci est confirmée par l'ouvrage "künstliche Rechnung" (1526) du mathématicien allemand RUDOLFF Christoff (Jauer, Prusse 1500 - Vienne vers 1545).
  Il y omet la barre dans toutes les fractions ordinaires mais elle est présente dans les fractions imprimées en gros caractères et les nombres ayant de grande taille ([Smith2] , page 216).
  
  
• Michael Closs souligne que si l'on définit une barre de fraction horizontale à une ligne horizontale qui sépare le numérateur du dénominateur et les délimite en tant que telle, alors ce type de notation a été utilisé avec exactement cet effet plus d'un millénaire avant al-Hassar.
  Richard A. Parker écrit que dans trois papyrus datant du IIIe siècle avant J.-C. à la période romaine

"Le numérateur est inscrit en premier, et le dénominateur suit sur la même ligne.
Dans les problèmes 2, 3, 10 et 13 (le papyrus du Caire) le numérateur est souligné. Dans les problèmes 51 et 72 le dénominateur est souligné."

Sources

• [CajoV1] : Florian CAJORI, History of mathematicals notations, Volume 1, Cosimo, New York, 2007 (réed. de l'édition de 1929).

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Published: 04 September 2012

Last Updated: 15 December 2012

Les fonctions. 

Les notations utilisées pour indiquer une fonction ont évolué en même temps que la notion même de fonction est apparue.
=> Histoire de la notion de fonction.

• Symbole f(x) : 

  Le symbole f(x) pour désigner une fonction de la variable x, voit sa première utilisation avec Leonhard EULER (1707-1783) en 1734 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.

  Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifié funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution", en français courant [Rey].

  Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction. [EtcGarVer] page55. 

  C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition correcte fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705). [HaSu] p213

• Fonction β. 
  Le symbole de la fonction bêta d'EULER est introduit par le mathématicien et astronome français Jacques P. M. BINET (1786-1856) en 1839. [HaSu] p39

• Fonction Γ. 
  Le symbole de cette autre fonction d'EULER est introduit par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) dans son Exercices de Calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadrantes. 
  
  
• Fonction Zêta de RIEMANN ζ : 
  Le symbole ζ de cette fonction introduite par Bernhard Riemann (1826-1866) en 1857, apparait dans dans "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (1859).
  
  
• Fonction de Bessel J. 
  Le mathématicien danois HANSEN Peter Andreas ( 1795 - 1874) utilise la lettre J pour cette fonction en 1843 dans Ermittelung der absoluten Störungen, mais cette notation a varié depuis. L'allemand BESSEL Friedrich Wilhelm (1784-1846) lui-même utilise la lettre I. 
  
  
• Fonction logarithme. Log (puis ln) 
  Le symbole Log apparait comme abréviation de logarithme dans A Description of the Admirable Table of Logarithmes (1616), une traduction anglaise d' Edward Wright des travaux de NEPPER.

  Log. était utilisé par KEPLER Johannes (Weil der Stadt 1571 - Ratisbonne 1630) en 1624 dans Chilias logarithmorum.
  log. était utilisé par l'italien CAVALIERI Bonaventura (1598-1647) dans Directorium generale Vranometricum en 1632.
  log apparait en 1647 dans une édition des Clavis mathematicae de William Oughtred (1574-1660).
  Log_a (logarithme de base a), aurait été (Cajori n'en parle pas) introduit par Edmund GUNTER (1581-1626).
  ln (notation contemporaine) est utilisé en 1893 par l'américain Irving STRINGHAM (1847-1909) dans Uniplanar Algebra.

• Fonction partie entière : E(x) et [x]
  [x] est utilisé par GAUSS (1808) dans sa théorie des nombres.
  Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) utilise la notation E(x).
  
  
• La fonction signe de : sgn(x).
  Le symbole [a], pour representer 0, 1, or -1, selon le signe de a est introduite par Leopold KRONECKER (1823-1891).
  
  
• La fonction π(x).
  π(x), représente le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Cette notation est utilisée par en 1909 dans Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen par le mathématicien allemand LANDAU Edmund Georg Hermann (1877-1938).
  Cette fonction fut étudiée initialement par EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783), mais dans in Novi Comm. Ac. petrop., 8, 1760-1, 74, il n'utilise pas de notation particulière. Dans Comm. Arith., 1, 274, puis dans Acta Ac. Petrop., 4 II (or 8), 1780 (1755), 18, il utilise la notation πN.

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 29 August 2012

Le signe d'égalité

Le signe d'égalite = a été proposé dès 1557 par le mathématicien et physicien galois Robert RECORDE (1510 ?-1558) dans "Clavis mathematicae" (The Whetstone of Witte).

Cet ouvrage est la seconde partie de son " Arithmétique". Il y traite en particulier d'extraction de racines carrées, de résolutions d'équations et de nombres irrationels (surds nuumbers).

Peu de temps après la parution de son ouvrage, il est jeté en prison à Londres (à la King's Bench Prison) suite à une accumulation de dettes, il y meurt quelques mois plus tard. 

Recorde, expliquait ainsi les raisons de son choix :

"Si j'ai choisi une paire de parallèles, c'est parce qu'elles sont deux lignes jumelles, et que rien n'est plus pareil que deux jumeaux."

La généralisation de ce signe fût cependant très lente. On attribue au mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), la généralisation de son utilisation. [HaSu] p213

Dans le document ci-joint, nous pouvons constater que René DESCARTES (1596-1650), 80 ans après la mort de RECORDE, utilisait un autre signe pour indiquer l'égalité.

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Bibliographie.

• J.L.AUDIRAC (Vie et oeuvre des grands mathématiciens, p34) -Magnard
• Florian CAJORI ( history of matematicals notations) - Thèse de réf. 01-1 CAT.74
• Denis GUEDJ (Le théorème du perroquet, p295) - Seuil
• Histoire des maths - Maths pour tous, vol.1 - ACL éditions (p15)

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 13 February 2013

Le symbolisme algébrique : L'usage des lettres.

Dès l'antiquité, on faisait un usage systématique des lettres en géométrie pour désigner des indéterminées comme des points ou des droites, etc., c'est à dire des grandeurs qui ne sont pas inconnues mais seulement données de façon non spécifiée.

Du côté de l'arithmétique et de la théorie des équations, quelques traces d'abréviations symboliques sont très anciennes (signes pour la soustraction et l'addition chez les Égyptiens et chez Diophante) mais le caractère rhétorique de l'algèbre prédomine largement en particulier chez les Arabes en dépit du haut niveau de technicité de leur calcul algébrique.

On peut distinguer deux processus :

• d'une part, inventer des notations maniables pour les 4 opérations de l'arithmétique avec des conventions permettant de pouvoir structurer une suite d'opérations ;
• d'autre part, inventer des symboles pour l'inconnue et ses puissances et former des sommes algébriques avec ses symboles.

En Algèbre, l'usage des lettres est apparu dès le début du 16ème siècle.

MAUROLICO, dit Francesco de Messina en fait usage mais sans calculer avec elles et, s'il fait des additions et des multiplications, il introduit une nouvelle lettre à chaque fois.

Une importante innovation est l'utilisation des lettres capitales A, B, C,... pour désigner l'inconnue.
On trouve cela, à des variantes près chez l'Allemand STIFEL en 1544, le Français Jacques Peletier en 1554, et très clairement chez Jean Borrel, un homme d'église connu sous le nom latinisé de Butéo, qui publie en 1559 logistica quae et arithmetica Vulgo dicitur.

C'est à cette époque que la manipulation de certaines expressions algébriques à une ou plusieurs inconnues désignées par des lettres devient plus familière. C'est ce que l'on a appelé l'algèbre numéreuse.

Cependant, la mutation la plus fondamentale viendra de François Viète (1540-1603).
Il désigne par des lettres non seulement les inconnues et les puissances des inconnues, ce qui était déjà une habitude, mais aussi les coefficients indéterminés (ce que l'on avait fait en géométrie dans l'Antiquité).
Il réserve pour les grandeurs connues indéterminées les consonnes B, C, D..et pour les inconnues les voyelles A, E, O..
Viète réalise des progrès très nets en matière de calcul algébrique et d'applications de celui-ci à la géométrie des Grecs. Les problèmes classiques du second degré et du troisième degré sont traités, ainsi que nombre de problèmes de degré supérieur.
(La dernière proposition du traité de Viète (l'art analytique) fonde véritablement la théorie des équations en donnant les relation entre coefficients (le terme est de lui) et les racines.).

Les mathématiciens de la première moitié du 17ème siècle (Harriot et Albert de Girard) simplifieront les notations de Viète et avec Descartes (1596-1650), elles auront à peu près atteint leur forme actuelle (des notations diffèrent pour les puissances, le signe d'égalité et la multiplication). ( Pour plus de précisions sur les équations).

Exemples de notations

Bibliographie : 

[DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. p 109

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 29 August 2012

Le symbole racine carrée : √

C'est la première utilisation d'un symbole pour représenter la racine carrée. On la trouve dans un ouvrage de Leonardo de Pise, geometriae de Practica en 1220.

Nicolas Chuquet (15e siècle) pratiquait déjà dans "triparty en la science des nombres" ( 1484) (le plus ancien traité d’algèbre écrit en français) la notation par exposant. 
Pour noter par exemple √( 35 - √15 ) Nicolas Chuquet écrit : RU 35 m˜ R 15, où R désigne la racine carrée, le U de RU signifiant qu'il s'agit d'une racine carrée englobant tout ce qui suit. [HaSu]
Dans cet ouvrage, la notation des puissances par exposant est très proche de la nôtre et les radicaux sont notés R.

Le symbole radical est apparu la première fois en 1525 dans la matrice Coss par Christoff Rudolff (1499-1545). Il a employé √ pour les racines carrées. Il auteur du premier manuel d'algèbre en langue allemande. Ce dernier s'inspira de son compatriote Riese (1492?-1559) qui préconisait le calcul à la plume de préférence au calcul avec jetons.

Certains avancent que l'origine du symbole radical moderne vient d'une déformation de R, puis r, la première lettre dans la radix.
C'est l'opinion de Leonhard Euler dans ses differentialis de calculi d'Institutiones (1775). Cependant, Florian Cajori, auteur d'une histoire des notations mathématiques, n'en est pas convaincu.

En 1637 DESCARTES utilise √, ajoutant la barre en haut, dans sa Geometrie.

Pendant la Rennaissance, l'école allemande, qui prend le nom de La Coss(*), va s'efforcer d'élaborer une notation commode et introduit des abréviations de rex, de radix, de causa (nom de l'inconnue au Moyen Age chrétien), de census (carré de l'inconnue), etc., dans les formules ; ce que l'on appelle les caractères cossiques.

(*) Les termes utilisés pour désigner l'inconnue par les Arabes signifient chose et racine (cosa, en italien ; coss, en allemand).

Albert Girard (1595-1632) introduit la notation racine cubique ³√ . 
Selon Cajori (vol. 1, page 372) la première personne pour qui adopte la notation de Girard était Michel Rolle (1652-1719) en 1690 dans le d Algébre de Traité.

Voici un autre exemple de notations utilisées par Gérolamo CARDAN (Pavie, 1501 - Rome, 1576), tiré de son ouvrage Ars Magna (1545).   

Bibliographie : 

• [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
• [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990. ( p24 et p34)
• [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997. (p5)
• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 29 August 2012

Les exposants

Définition.

Un nombre réel a élevé à la puissance n (pour n entier non nul) est défini par aⁿ = a×a×a×..×a (n fois).

• Par exemple : 
  • • 3² = 3.3 = 9
    • et 2³ = 2.2.2 = 8

Par convention on a x⁰ = 1 alors que 0⁰ n'est pas défini.
On peut généraliser cette définition pour n réel et x > 0 à l'aide de la fonction exponentielle : xⁿ = e^{n.ln x}. 

=> lien vers un document de cours de collège.

Histoire.

---

• Le mathématicien français ORESME Nicolas (Oresme, près de Bayeux 1325 - Lisieux 1382) introduit les exposants fractionnaires et la règle de calcul (x^p)^q = x^pq.
  
  Il essaie de définir un exposant irrationnel, par exemple √2, sans véritable succès. [HaSu] p266
  
  
• Nicolas CHUQUET (15e siècle) pratiquait déjà dans "triparty en la science des nombres" (1484), le plus ancien traité d’algèbre écrit en français, la notation par exposant (y compris les puissances de 0 et les puissances négatives).
  Il n’a cependant jamais publié "Triparty", ce qui explique le peu d'influence de son ouvrage.
  
  Dans cet ouvrage, la notation des puissances par exposant est très proche de la nôtre et les radicaux sont notés R.
  
  
• Pour les puissances de l'inconnue, 1225+148 x² est écrit 1225p148² par Chuquet.
  
  
• Le symbole R est devenu r puis √ (pour éviter une ambiguïté sur le radicande) mais cette notation n'apparait qu'au 16^ème siècle avec le mathématicien allemand Christoff Rudolf (1500 - 1545) dans son ouvrage Die Coss (1525).[HaSu] p 306
  
  
• Le terme exposant est dû au mathématicien allemand Stifel (1487-1567) qui généralise la notation correspondante aux exposants négatifs. L'auteur de l'Arithmética intégra était un moine, disciple de Luther, qui calcula la fin du monde pour le 18 octobre 1533 (!!).Il enseigna à Königsberg et Iéna.
  
  
• Au 18ème siècle, on écrit encore bb pour b² mais b³, b⁴.... , même si Descartes (1596-1650) a une écriture des formules très proche de la nôtre.(z2 pour z²)

Bibliographie : 

• DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER (Une histoire des mathématiques, p104)- Points sciences
• J.L.AUDIRAC (Vie et oeuvre des grands mathématiciens, p24 et p34) -Magnard
• Jean-Pierre ESCOFIER (Théorie de Gallois, p5) - Masson

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 04 September 2012

La division.

De nombreux symboles ont été utilisés pour représenter cette opération.

 Une longue évolution

• Parenthèse. 
  L'écriture 8) 24 a été employé par Michael STIFEL (1487-1567 ou 1486-1567) dans l'integra d'Arithmetica, éditée en 1544 à Nuremberg. ([CajoV1], page 269)
  
  
• Les deux points (:)
  Il a été employé en 1633 dans un texte, "Johnson Arithmetik" (Londres, 1633).
  Cependant Johnson a seulement employé le symbole pour indiquer des fractions. Par exemple des trois-quarts ont été écrits 3:4
  Il n'a pas employé le symbole pour la division « dissociée de l'idée d'une fraction ». ([CajoV1], page 276,295)
  
  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a employé : pour le rapport et la division en 1684 dans l'eruditorum d'acta.
  
  
• Le symbole (÷)[CajoV2] p211
  Il a été employé la première fois comme symbole de division par le mathématicien suisse Johann RAHN (ou Rhonius) (1622-1676) en 1659 dans l'algèbre de Teutsche.
  
  Le livre de RAHN a été traduit en anglais et édité, avec des additions par John PELL, à Londres en 1668. Dans cette édition, on y retrouve le symbole de la division.
  Selon quelques sources récentes, John PELL avait une influence importante sur RAHN et il pourrait en fait, être responsable de l'invention du symbole.
  Cependant, selon l'historien Cajori il n'y a aucune preuve de cette assertion.
  Notons de plus que ce symbole ÷ de division fut employé par beaucoup d'auteurs avant RAHN comme signe moins.
  
  
• Symbolisme récent.
  Au 19^ème siècle, la division est typiquement exprimée avec le diviseur, le dividende, et le quotient sur la même ligne, séparée par des parenthèses.
  
  
  • Par exemple :  36) 116 (3 
    qui indique la division de 116 par 36 soit en notation euclidienne : 116 = 3×36 + 8 (le reste n'est pas indiqué)
    
    
  • Autre exemple : Arithmetick par John HILL (1772)

• En 1888, dans l'édition du professeur des éléments de l'algèbre de G.A. WENTWORTH, la barre horizontale est presque attachée au dessus de la parenthèse et le quotient est écrit au-dessus de la barre, comme montré ci-dessous.

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 29 August 2012

Le symbole de la multiplication.

Pendant longtemps, on a exprimé par des mots l'intention de multiplier deux nombres.
Puis sont apparues des abréviations comme la lettre M utilisée en 1634 par le flamand Simon Stevin (Bruges 1548 - La Haye 1620) notamment dans un ouvrage de 1585, écrit en français et intitulé "La disme".
François Viète (1540-1603) quant à lui utilisait la notation A in B pour désigner A×B. ( Les données connues sont représentées par des consonnes, les inconnues par des voyelles).

Le symbole × fut introduit plus tardivement, en 1631, par le mathématicien anglais W. Oughtred (1574-1660) dans Clavis Mathematicae (clés des Mathématiques), composés vers 1628 et publié à Londres en 1631.
Ce nouveau symbole se généralisa assez difficilement au début, il faut dire qu'évidemment les moyens de communications étaient sommaires.
W. Oughtred fut par ailleurs le premier à utiliser des abréviations pour les fonctions trigonométriques et on lui prête l'invention des échelles logarithmiques.

Quant au point, il n'apparait qu'en 1698 dans un ouvrage de l'allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (Leipzig, 1er juillet 1646 - Hanovre, 1716).
Cependant il apparaît aussi chez Thomas Harriot (1560-1621) dans Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, (publié après sa mort en 1631) , et chez Thomas Gibson en 1655 in Syntaxis mathematica. Les spécialistes mettent toutefois en doute leur utilisation en tant que symbole opératoire. [Cajo]

Autre exemple
Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 1623 - Paris, 1662) dans "DE NUMERIS MULTIPLICIBUS" (traité sur les caractères de divisibilité des nombres) écrit :

"Si vero constet duobus characteribus NM :
Dico quoque, prout M, +N in B multiples A, et ipsum numerum NM ejusdem multiplicem esse."

soit

"Soit maintenant un nombre de deux chiffres représenté par NM ; je dis que, pour qu'il soit divisible par A, il faut et il suffit que la somme M + N×10 le soit").

Ce qui est bien sur vrai en base 10.

Bibliographie :

Louis Lafuma (Réédition des oeuvres complètes de Pascal) - Seuil
[Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.
[Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997.
[Cajo] : Florian CAJORI, History of mathematicals notations, Thèse de réf. 01-1 CAT.74.

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 07 June 2025

Les symboles du plus et du moins.

Dans un papyrus égyptien, on découvre une paire de jambes marchant dans un sens pour indiquer une addition et dans l'autre sens pour pour une soustraction.
Jusqu'au 15ème siècle, l'usage le plus courant consistait à écrire en toutes lettres "j'ajoute" ou "je soustrais".

A la fin du 15ème siècle, les mathématiciens italiens utilisent les lettres p pour "piu" et m pour "minus" souvent surmontées du signe " ~ ".
C'est à cette époque, en 1489, qu'apparaissent les premiers + et - dans un ouvrage d'arithmétique commerciale de l'allemand WIDMAN (+ serait une déformation de &).
Par suite, l'usage de ces symboles ne se généralisèrent qu' avec "l'Arithmética intégra" (1554) du mathématicien allemand STIFEL (1487-1567).

En France, c'est le mathématicien François VIETE (1540-1603) (dont l'idée fondamentale est l'utilisation systématique du calcul littéral), qui contribue grandement à imposer ces signes. 

Bibliographie : 

[Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.
[Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997.

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Published: 06 August 2012

Last Updated: 15 November 2023

Histoire et origine des symboles mathématiques

Je vous présente un petit résumé de l'apparition des différents symboles. Un développement est associé à certains symboles.

1 - Les opérations

• Plus et moins \(+ ~~,~~-\)
  

  WIDMANN (Allemagne), 1489   dans un traité d’arithmétique commerciale.
  

• Multiplication : \(\times\) et .

  William OUGHTRED (1574-1660, Angleterre), en 1631 pour × et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716, Allemagne), en 1698 pour le point (.).

• Division : Multiples symboles.

• Exposants : Nicolas CHUQUET (15ème siècle), (mais généralisé bien après) 
  

• Le point pour le produit scalaire a été employé en 1902 dans Vector Analysis de J.W. GIBBS par E.B. Wilson. 

• × pour le produit de vecteurs a été employé en 1902 dans Vector Analysis de J.W. GIBBS par E.B. Wilson. 

• Plus-ou-moins (±) a été employé par William Oughtred (1574-1660) dans Clavis Mathematicae, édité en 1631. 

• Le symbole de produit (∏) a été introduit par René Descartes, selon Gullberg mais Cajori indique que ce symbole a été présenté par Gauss en 1812. 

• Racine carrée. √ par  Christophe RUDOLFF (Allemagne), en 1525. 

• Addition ∑. Le symbole d'addition (∑) a été employé la première fois par Leonhard Euler (1707-1783) en 1755 :

"Signo de sumus de vsi de denotandam de differentiam d'annonce de Quemadmodum [lettre Delta en capital], signo d'indicabimus de summam d'ita (∑)."
Dans differentialis de calculi d'Institutiones ( 1755).

Ce symbole a aussi été employé par Lagrange, mais sa généralisation fut lente.

• Valeur absolue d'une différence. 
  Le tilde (_˜) a été utilisé par William Oughtred (1574-1660) selon Smith, dans le Clavis Mathematicae, composé environ 1628 et édité à Londres en 1631.
  
  
• Matrices. 
  En 1841, Arthur CAYLEY (1821-1895) a employé la notation moderne pour représenter le déterminante d'une matrice, une ligne verticale simple des deux côtés des nombres.
  
  La notation est apparue dans le journal mathématique de Cambridge, vol. II (1841), P. 267-271. Cependant, Cayley a employé des virgules pour séparer des entrées dans des rangées (Cajori vol. 2, page 92).
  => Pour en savoir plus :  

2 - Le symbolisme algébrique : utilisation des lettres

Maurolico, dit Francesco de Messina (début 16e) et François Viète (1540-1603, France) en sont les principaux acteurs.

⇒ développement.

3 - Les parenthèses (.)

Raphaël BOMBELLI (Bologne, 1522?-1572) (***)

4 - Les relations entres objets <, >, =, ≤ ≥

• ♠ Égalité = . 
  Robert RECORDE (1510-1558, Angleterre), en 1557.
  
  
• <, > inférieur stricte, supérieur stricte.
  Les symboles < et > apparaissent dans Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas de Thomas Harriot (1560-1621), publié de façon pasthume en 1631 :
  "Signum majoritatis ut a > b significet a majorem quam b" and "Signum minoritatis ut a < b significet a minorem quam b." 
  
  
• ≤ ≥ , inférieur ou égal, supérieur ou égal.
   Pierre BOUGUER (1698-1758) utilise ces symboles en 1734. 
  En 1670, John WALLIS utilise des symboles similaires avec une seule barre horizontale.
  Le symbole actuel est sans doute le fruit d'une évolution typographique plus moderne.
  
  
• ≠, différent de.
   EULER (1707 - 1783) utilise une graphie proche de celle usuelle (barre verticale pour EULER).
  
  
• ≈ presque égal.
  Ce symbole a été employé en 1875 par Anton Steinhauser dans der Mathematik de Lehrbuch,« Algèbre ». Le même symbole a été employé en 1832 par Wolfgang Bolyai pour signifier l'égalité absolue.

5 - Constantes célèbres

• Pi : π
  William JONES (1675-1749) en 1706 dans des mathesios de palmariorum de synthèse (⇒ développement)
  
  
• e : exponentielle.
  Cette constante, 2.71828…, a été mentionnée dans la traduction anglaise d'Edouard Wright du travail de NEPPER sur des logarithmes, éditée en 1618. 
  Le premier symbole utilisé pour la constante mentionnée par Cajori est la lettre b employée par Leibniz dans les lettres à Huygens en 1690 et 1691. 
  Leonhard Euler (1707-1783) a présenté e pour cette constante dans un manuscrit, Meditatio dans l'instituta de nuper de tormentorum d'explosione d'Experimenta (méditation sur des expériences faites récemment sur la mise à feu du canon), écrit à la fin de 1727 ou au début de 1728 (quand Euler avait juste 21 ans). Le manuscrit a été imprimé la première fois en 1862.
   
  "Pour le nombre dont le logarithme est unité, laisser e être écrit, qui est 2.7182817… dont le logarithme [sic] selon Vlacq est 0.4342944…"
  [traduit du latin par Florian Cajori].
   
  Euler utilise ensuite e dans une lettre adressée à Goldbach le 25 novembre 1731, écrivant qu'e « dénote que le nombre dont le logarithme hyperbolique est égal à 1. » 
  Il apparait aussi dans Mechanica d'Euler (1736), dans lequel il a créé les bases de la mécanique analytique.
  
  
• Le nombre d'or φ. 
  Selon les courbes de la vie : Étant un compte des formations en spirale et de leur application à la croissance en nature, à la Science, et à l'art : En se référant tout particulièrement aux manuscrits du da Vinci (1914) de Leonardo par monsieur Theodore Andrea Cook (1867-1928), page 420 :
   
  "M. Mark Barr… suggéré… que ce rapport devrait s'appeler la proportion de phi pour des raisons données ci-dessous…. Le phi de symbole a été donné à cette proportion en partie parce qu'il a un bruit familier à ceux qui luttent constamment avec pi et en partie parce que c'est la 1ère lettre du nom de Pheidias, dans lequel la sculpture cette sculpture est vue pour régner quand la distance entre les points saillants sont mesurées."
   
• i pour l'imaginaire a été employé la première fois par Leonhard Euler (1707-1783) dans un mémoire présenté en 1777 mais non édité jusqu'en 1794 dans ses « integralis de calculi d'Institutionum. »

6 - Les nombres complexes ou imaginaires

• Imaginaire : DESCARTES (1596-1650), 1637
• Module : ARGAND (1768-1822, Suisse), 1806
• Argument : CAUCHY (1789-1857), 1838
• Nombre complexes : GAUSS (1777-1855), 1831
• Nombre N(z) carré du module : GAUSS(1777-1855), 1831
• Notation |z| pour le module : K.WEIERSTRASS (1815-1897)
• Notation i : EULER( 1707-1783), 1777, reprise par GAUSS(1777-1855)
• Représentation géométrique des complexes :
  Le Danois WESSEL (1745-1818) en 1798 et le Suisse ARGAND (1768- 1822) en 1806 propose cette représentation, sans trop d'écho. C'est GAUSS (1777-1855) qui expose la théorie et CAUCHY (1789-1857) qui la diffuse. ^{[DaDaPe] p125}

7 - Les fonctions

=> Les notation fonctionnelles.

=> Histoire de la notion de fonction.

8 - La trigonométrie

Albert GIRARD (1595-1632) utilise les notations "sin, cos et tan" en 1626, dans Tables de sinus, tangentes et sécantes.

Mais c'est l'Allemand REGIOMONTANUS ( 15ème siècle) , qui est le créateur du mot sinus dans ses travaux sur la trigonométrie (De Triangulis omnimodus en 1464, publié en 1533)

Pour connaitre l'histoire de cette notion ⇒ La trigonométrie.

9 - Notation utilisées dans les calculs liés aux fonctions

• Dérivation : dx, f '(x), u', D_x y 

  Les symboles dx, dy, and dx/dy sont introduits par Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716) dans un manuscript de 1675.

  Les notations f '(x) pour la dérivée première, f ''(x) fpour la dérivée seconde, etc., sont introduites par Joseph Louis Lagrange (1736-1813). En 1797 dans Théorie des fonctions analytiques il utilisef'x et f''x.
  Mais dans Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770) il utilise la notation Ψ'.

  En 1772, le mathématicien français LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813) écrit u' = du/dx et du = u'dx dans "Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'integration des quantités variables".

  D_x y est introduit par Louis François Antoine ARBOGAST (1759-1803) dans "De Calcul des dérivations et ses usages dans la théorie des suites et dans le calcul différentiel," (1800).
  Il fut aussi utilisé par Jean BERNOULLI.

• Dérivée partielle : ∂
  Le symbole ∂ est utilisé en 1770 par CONDORCET Marie Jean Antoine Caritat de (1743-1794) dans "Memoire sur les Equations aux différence partielles," publié dans Histoire de L'Academie Royale des Sciences (1773).
  Cependant le ∂ fut pour la première fois utilisé par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) en 1786 dans "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations".
  LEGENDRE abandonne cette notation par la suite, elle est réintroduite par Carl Gustav Jacob JACOBI en 1841 dans De determinantibus Functionalibus" publié dans le Journal de Crelle en 1841.
  Pour en savoir plus, voir la page sur les fonctions de plusieurs variables.

• Le symbole intégral : ∫

  Leibniz écrivait omn. pour "omnia" avant le terme à intégrer.

  Le symbole intégral : ∫ fut pour la première fois utilisé par le mathématicien Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716) en, 1675, dans un traité non publié. Il plaça ensuite le symbole dx après l'intégrande.
  En 1675, il en propose l'usage dans une lettre à Henry Oldenburg, secretaire de la Royal Society : 
  "Utile erit scribi ∫ pro omnia, ut ∫l = omn. l, id est summa ipsorum l" 
  Sa première apparition vient ensuite dans un papier de Leibniz, Acta Eruditorum.
  Ce symbole vient d'une déformation du S de Summa.

• Au début les bornes d'intégration sont indiquées par des mots. EULER est le premier à utiliser un symbole dans Institutiones calculi integralis, il place les bornes dans des parenthèses.

• Le symbolisme actuel est initié par Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), en 1822 dans The Analytical Theory of Heat.

• La limite : lim
  

  La notaion lim, est introduite par le suisse Simon-Antoine-Jean LHUILIER (1750-1840) en 1786 et par Karl Weierstrass (1815-1897) en 1841 dans un de ses papiers publiés en 1894 dans les Mathematische Werke. [HaSu] p 217 et [Cajo].

  La notation avec une flêche est introduite par Godfrey Harold Hardy (1877-1947) dans "A Course of Pure Mathematics, publié en 1908.

• Le symbole infini : ∞
  Ce symbole ∞ est proposé par John Wallis (1616-1703) en 1655 dans De sectionibus conicis.

• Les symboles grecs delta et epsilon : δ , ε

  En 1706, Jean BERNOULLI utilise δ tpour désigner une différence (petite). 
  Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) utilise ε en 1821 dans son Cours d'analyse, et parfois δ à sa place. 
  "δ viendrait de d de 'différence' et ε du e d' 'erreur' selon certains spécialistes. 
  Il utilise ces symboles dans ces démonstrations comme nous le faisons actuellement.

10 - Notations liées aux probabilités et statistiques

• Factorielle : n!

  Par Christian KRAMP (1760-1826) en 1808 dans Élémens d'arithmétique universelle (1808).

• Permutations et combinaisons : C_n^p = ( _pⁿ) et A_n ^p

  La notation modernes avec parenthèses apparait en 1826 dans Die Combinatorische Analyse de l'allemand ETTINGSHAUSEN Andreas von (1796 - 1878) et dans Vorlesungen über höhere Mathematik, Vol. I.

  Harvey GOODWIN (1818 - 1891) utilise nPp pour le nombre d'arrangements de p éléments parmis n en 1869 dans Elementary Course of Mathematics.

  G. CHRYSTAL (1851 - 1911) utilise nCp pour le nombre de combinaisons de p éléments parmi n dans Algebra, Part II (1899), ouvrage que l'on peut consulter en ligne sur le site onlinebooks.

Pour connaitre l'histoire des probabilités => 

11 - Les ensembles de nombres

• IN : Origine du symbole IN, pour les entiers natiurels (de naturale en italien)

  Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) définit l'ensemble des entiers naturels non nuls par des axiomes qui portent aujourd'hui son nom et le note N ( Il deviendra ensuite IN pour désigner l'ensemble des nombres naturels). [HaSu] p276.

  CAJORI précise que : 

  En 1895 dans Formulaire de mathématiques, PEANO utilise N pour les entiers positifs non nuls, n pour les entiers (relatifs) , N₀ pour les entiers positifs (avec 0), R pour les nombres rationnels positifs, r pour les nombres rationnels, Q pour les nombres réels positifs non nuls, q pour les nombres réels, et Q0 pour les nombres réels positifs (avec 0). [Cajo] vol. 2, page 299]. 

  L'expression nombre naturel apparaît vers 1675, à l'époque où les nombres négatifs sont enfin accéptés. [Hauch] p 132

• ID : Origine du symbole ID, Ensemble des décimaux : notation française du groupe BOURBAKI en 1970.

• Q : Origine du symbole Q, Ensemble des nombres rationnels.

  Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) aurait utilisé la lettre Q, première lettre de quotiente mais, selon plusieurs sources, pas pour désigner l'ensemble des rationnels. Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969) 

  Le mot rationnel apparaît en mathématiques vers 1550 (en même temps que le terme irrationnel). Un nombre irrationnel est aussi appelé à l'époque nombre sourd. Il semblerait que cela vienne d'une mauvaise traduction des mots rationnel et irrationnel en arabe à l'époque du célèbre mathématicien perse KHWARIZMI Mohammed Ibn musa AL ( khiva 788 - Bagdad 850).

• Z : Origine du symbole Z, Ensemble des nombres relatifs.

  Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969) 

  La lettre viendrait de Zahl (nombre) et zahlen (compter) de l'allemand.

  DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916) et CANTOR Georg (1845-1918) sont souvent cités mais il semble que le premier utilisait K pour les entiers et J pour les complexes (selon les historiens Walter Felscher, Stacy Langton, Peter Flor, et A. J. Franco de Oliveira).

• IR : Origine du symbole IR, Ensemble des nombres réels. ℜ

  Les origines de l'utilisation de la lettre R puis IR pour désigner l'ensemble des réels sont multiples.

  Contrairement à ce que l'on lit souvent, CAJORI affirme que DEDEKIND Julius Wilhelm Richard (1831-1916) utilise R pour les rationnels et le R gothique, ℜ , pour les réels dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872).

• C : Origine du symbole C, Ensembles des nombres complexes ou imaginaires.

  L'origine du symbole C pour désigner l'ensemble des nombres complexes est assez récente. On trouve selon l'historien des mathématiques William C. Waterhouse (en 2001) ce symbole dans les papiers de JACOBSON Nathan (1910 - 1999), Structure and Automorphisms of Semi-Simple Lie Groups in the Large, (1939).

  La seconde édition de Survey of Modern Algebra (1953) de Birkhoff and MacLane, utilise aussi C (mais J pour les entiers, R pour les rationnels, R^# pour les réels). 

  Le groupe BOURBAKI l'utilise aussi dans ses travaux de 1969 et participe à sa généralisation.

 12 - Les matrices

Voir la page sur l'histoire de la notion de matrice.

 13 - Notations ensemblistes et logiques : ∈ ; ∩ ; ∪ ; ⊂ ; ⊃

• Origine des symboles intersection et union : ∩ et ∪
  Les symboles ∩ and ∪ sont utilisés pour la première fois par le mathématicien allemand GRASSMANN Hermann (1809-1877) dans Die Ausdehnungslehre von (1844) mais il les utilise comme symbole d'opération, pas nécessairement pour désigner l'union et l'intersection.
  Puis c'est le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) qui les utilise à cet usage en 1888 dans Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann ([Cajo] page 298).

• Histoire du symbole "il existe" : ∃
  C'est le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) qui utilise le symbole ∃ dans Formulaire de mathematiqués, en 1897.

• Histoire du symbole "appartient à" : ∈.
  Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) utilise le symbole ε (epsilon) dans ses Arithmetices prinicipia nova methodo exposita, en 1889 et dans Formulaire de mathematiqués, en 1897, pour désigner l'appartenance à un ensemble. Cela viendrait en fait de la première lettre du mot grec qui signifie est. 
  

  Le symbole ∈ pour désigner l'appartenance apparaitrait dans le traité du mathématicien anglais RUSSELL Bertrand Arthur William (1872-1970), Principles of Mathematics en 1903.

• Histoire du symbole "pour tout ou quelque soit" : ∀.
  CAJORI, insiste sur le fait que l'italien PEANO Giuseppe (1858-1932) utilise le symbole ∀(pour tout) avant l'anglais RUSSELL Bertrand Arthur William (1872-1970).
  
  RUSSELL utilisait la notation (x) signifiant "pour tout x".

• Histoire du symbole "ensemble vide" : Ø.
  Ce symbole pour désigner l'ensemble vide apparait dans les travaux du groupe BOURBAKI Éléments de mathématique Fasc.1: Les structures fondamentales de l'analyse; Liv.1: Théorie des ensembles. (Fascicule de resultants) (1939): "certaines propriétés... ne sont vraies pour aucun élément de E... la partie qu’elles définissent est appelée la partie vide de E, et designée par la notation  Ø." 

  Le mathematicien français André WEIL (1906-1998), membre du groupe BOURBAKI, se dit responsable de l'introduction de ce symbole.

• Histoire du symbole "équivaut à" : ↔ et ⇔ .
  Le symbol ↔ pour désigner une équivalence logique apparait en 1936 dans le traité du mathématicien allemand Wilhelm Ackermann (1896 - 1962) Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre.

  La double flêche ⇔ est utilisée en 1954 par les BOURBAKI dans Theorie des ensembles, 3. edition, Paris, 1954.

Tableaux Synoptiques

17ème siècle.

18e siècle

 19e siècle

(déterminant)	CAUCHY (1789-1857)
= AB surligné pour désigner une mesure algébrique (segment orienté)	ARGAND (1768-1822, Suisse)
f/dx (dérivée partielle)	Adrien-Marie LE GENDRE (Paris 1752-1833)
n! (= 1x 2x 3x ... xn , factorielle)	KRAMP (1760-1826)

20e siècle

a ^ b (produit vectoriel)	BURALI-FORTI (1861-1931,Italie) / MARCOLONGO.  Aux USA la croix (x) instituée par GIBBS (1839-1903, USA) ou les crochets [u,v] sont plutôt utilisés.
(complémentaire)	BOURBAKI  (20e siècle)
( implication logique, )	BOURBAKI (20e siècle)
|| x || (norme)	Fréchet (1878-1973)
f : A B	Fréchet (1878-1973)
(il existe)	PEANO (1858-1932)/ FREGE
A - B (différence symétrique),	PEANO (1858-1932)
(quel que soit) :	HILBERT (1862-1943)
= flèche surlignée pour désigner un vecteur	France, dans les années 1930. Voir aussi STEVIN.

Bibliographie :

• La référence de base est : [Cajo] : Florian CAJORI, History of mathematicals notations, Thèse de réf. 01-1 CAT.74.

Mais on trouve certaines remarques intéressante dans les ouvrages suivants :

• [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997. page 6
• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
• (*) [Guedj1] : Denis GUEDJ, Le théorème du perroquet, Seuil page 249
• (**) [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990. page 34
• (***) [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. page 262